階数を小行列を用いて求める方法について

質問

|a-2 1 2 1 |
|-2 a-1 1 1 |
|-3 1 a 1 |　＝｜Ａ｜
|-3 1 2 a-1|
の階数を小行列を用い求める。
　｜Ａ｜＝（ａ－１）（a－２）＾３
(ii )a=1のとき
|-4 1 2 1 |
|-2 0 1 1 |
|-3 1 1 1 |
|-3 1 2 0 |

　　となり小行列
D3=
| 1 2 1 |
| 0 1 1 | = 1 =/= 0 |A|=0 より、rankA=4と解答ではなっているのですがこれは
| 1 1 1|　　

|-4 1 2 |
|-2 0 1 |
|-3 1 1 | など全部で4つの３次小行列すべてをチェックする必要があるのでしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

#3 でも書かれてますが, 「0 でない行列式を持つもの」が 1つ見つかれば OK です. ということは, 理屈からいうと 16個全部調べなければならない... わけですが, 多分そこまでする必要はないんじゃないかなぁ. どっちにしても「1つずつ調べる」ことそのものは必要.

補足

わかりました！あとhttp://www.math.tsukuba.ac.jp/~moriya/la106/moriya-la1060208.pdfというホームページの例題２３において、２次小行列の選び方は、２行から２つ、３列から２つ選ぶので本当は３つ。つまり
| 2 -3 |
|-4 6 | も考慮に入れなければならないということですよね？

回答No.3

puusannya

０でない小行列が１つできればよかったのだと思いますが。

この問題の場合は
ａ＝１のとき、rankＡ＝３
ａ＝２のとき、rankＡ＝２
ａ≠１，２のときrankＡ＝４　が答えですね。

補足

解答ありがとうございます！a=2のときの解はどのようにして算出したのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

あ違った. 「ランク 4」が間違いで「ランク 3」が正解なんだ.

回答No.1

Tacosan

a=1 のときに「ランクは 3」としているのは間違いだけど, 3次小行列の選び方は
・4つの行のうち 3つ
・4つの列のうち 3つ
から 4×4 = 16通りですね.

補足

階数をｎ＊ｎ小行列で求めるとき、この小行列が０のとき階数はｎ未満、0でない小行列があるときに階数はｎ以上ですよね。　
　a=1の時、３次の小行列は１６通り全て調べる必要があるということですか？