行列の階数について

質問

｜１　５　８　-1｜
｜１　７　14　-3｜
｜２　７　７　２｜
の行列の階数の求め方を教えてほしいです。
本を読んでも行列の階数の求め方がいまいち理解できません。
基礎的なことから丁寧に教えてくれるとうれしいです。

回答No.1

freemason5 · ベストアンサー

あまり難しく考えなくてもよいと思います。
単純に言葉の意味として、
階数＝階段の数と考えてみてください。

ガウスの消去法のように、左の列から単位行列を作る作業を進めていきます。

| 1 5 8 -1 |
| 1 7 -14 -3 |
| 2 7 7 2 |

(2)行目から(1)行目をから引く
(3)行目から(1)行目の２倍を引く

| 1 5 8 -1 |
| 0 2 -22 -2 |
| 0 -3 -9 4 |

(2)行目÷２

| 1 5 8 -1 |
| 0 1 -11 -1 |
| 0 -3 -9 4 |

(1)行目から(2)行目の５倍を引く
(3)行目に(2)行目の３倍を足す

| 1 0 63 4 |
| 0 1 -11 -1 |
| 0 0 -42 1 |

(3)行目÷（-４２）

| 1 0 63 4 |
| 0 1 -11 -1 |
| 0 0 1 -1/42 |

(1)行目から(3)行目の６３倍を引く
(2)行目に(3)行目の１１倍を足す

| 1 0 0 省略 |
| 0 1 0 省略 |
| 0 0 1 -1/42 |

すると、一番右の列以外は下のような行列になります。
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
これは単位行列ですね？これは３段の階段になっていることはイメージできると思います。
よって元の行列
| 1 5 8 -1 |
| 1 7 -14 -3 |
| 2 7 7 2 |
の階数は３です。

お礼

ありがとうございました。
同じような問題を何題か解いてものにしていきたいと思います。

回答No.3

arihina

ごめんなさい。ミスがありますね。
(1 5 8 -1)
(1 7 14 -3) (2)-(1) ->
(2 7 7 2) (3)-2x(1)

(1 5 8 -1)
(0 2 6 -2) (2)x1/2 ->
(0 -3 -9 4)

(1 5 8 -1)
(0 1 3 -1) ->
(0 -3 -9 4) (3)+3x(2)

(1 5 8 -1) (1)-5x(2)
(0 1 3 -2) ->
(0 0 0 1)

(1 0 -7 -11) (1)+11x(3)
(0 1 3 -2) (2)+2x(3)
(0 0 0 1)

(1 0 -7 0)
(0 1 3 0)
(0 0 0 1)

よってランクは3です。
また間違いがありましたらごめんなさい。

お礼

丁寧にありがとうございました。

回答No.2

arihina

(1 5 8 -1)
(1 7 14 -3) (2)-(1) ->
(2 7 7 2) (3)-2x(1)

(1 5 8 -1)
(0 2 6 -4) (2)x1/2 ->
(0 -3 -9 4)

(1 5 8 -1)
(0 1 3 -2) ->
(0 -3 -9 4) (3)+3x(2)

(1 5 8 -1) (1)-5x(2)
(0 1 3 -2) ->
(0 0 0 -2) (3)x-1/2

(1 0 -7 -11) (1)+11x(3)
(0 1 3 -2) (2)+2x(3)
(0 0 0 1)

(1 0 -7 0)
(0 1 3 0)
(0 0 0 1)

よってランクは3です。

基本変形のみの操作で階段行列にしたときの、全て0の行以外の行の個数がランクになります。

間違いがありましたらごめんなさい。