数学A 三角形の重心の問題について

質問

この三角形の重心の問題がわかりません。

やり方を教えていただきたいです。

答えは、AE:EG＝3:1です。

よろしくお願いします。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

No.1 です
No.1 が ぐじゃぐじゃ長すぎ、反省して
No.4 を回答しましたが、それでも長いです
三角形の重心は今回 初めてでないので、
AG：GL ＝ ２：１ ＝ ４：２
AD：DB ＝ AE：EL ＝ １：１ ＝ ３：３
と既に頭に入っているので、
実際はその比を図に書き込み、
AE：EG ＝ ３：１ とすぐわかっちゃいますよね

お礼

ありがとうございます。

回答No.6

shuu_01

僕はよく定理とか公式を忘れて、試験で問題を解くとき、自分で導いてました

今回の重心も ２：１ というの、経験上、知ってはいましたが、、、

なんと、

三角形の重心（定理）
三角形の３つの中線は　１点で交わり、その交点は中線を　２：１の比に分ける。
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/sankaku-en-1.htm

という定理があったようです　（そんな定理 習った記憶に全然残ってませんが）

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

shuu_01

No.1 です

確かに No.1 はまどろっこし過ぎたので、反省し
No.2 さんの解答を参考し、短くしました

△ABL と△ADE は辺の比が ２：１ の相似なので
AL：AE ＝ ２：１
AE＝EL
△BCG と △DFG は辺の比が ２：１ の相似
△CGL と △DEF も 辺の比が ２：１ の相似となり
GL：EG ＝ ２：１
EG ＝ （1/3）EL
∴ AE：EG ＝ EL：（1/3）EL ＝ ３：１

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

oo14

難しく考えすぎでは？
小学生なら、記号の使い方とか読み方はわからなくても
2EG=GL,3EG=AE
こたえは AE:EG＝3:1
とすぐ答えるはず。
証明しろといわれると＃１さんのような回答になってしまうし、
理由を説明しろといわれれば＃２さんのような回答もありでしょう。
でも、そんな問題は出るんですか？
まるばつか、あっても３択問題でしょう。
小学生のように１秒で済ませばよいのでは。
あるいはいっても、中学１年生の図学レベルでよいと思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

中線連結定理を使えば、DE：CL＝ 1：2であることがわかる。
あとは、重心の性質を用いれば。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

shuu_01

G が重心ということは、△ABC を 直線 AL で割ってできた△ABL と △ACL の面積が等しく、高さが同じなので、底辺の BL と CL は同じ長さです。同様に AD と BD も同じ長さです
さらに、BG を伸ばして AC との交点を F とおくと、同様に AF と CF も同じ長さです
△ABL と △ACL の面積が等しいということは、△ABG と △ACG も高さが同じ、底辺が同じなので、面積が同じ
とすると、△ABG、△BCG、△ACG の３つはいずれも面積が同じ、ということは△ABC の 1/3 の面積です
ということは、AL：GL ＝ ３：１、ということは GL ＝ （1/3）AL、AG ＝（2/3）AL です
BC と DF は平行、AD：BD ＝ １：１　ですので、AE：EL ＝１：１ です
ということは、AE ＝ （1/2）AL
EG ＝ AG － AE ＝ （2/3）AL － （1/2）AL ＝ （1/6）AL
AE：EG ＝ （1/2）AL： （1/6）AL ＝ ３：１

【答え】 ３：１

お礼

ありがとうございます。