2重積分による重心を求める問題について

質問

曲線√x＋√y＝1とx軸、y軸とで囲まれる図形の重心の座標を求めよ。
（ちなみに答えは（1/5,1/5）です）

という問題の解き方が分からなくて困っています。いくつか例題のようなものを解いたんですがよく分からなかったです。

実はとても急いでいるんで理解とかなによりも解き方を教えてくださると助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。

＞領域D＝∬dxdyとして求めて
これが分かっていないのだね。
D:{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦{1-x^(1/2)}^2}だよ。
Dが把握できれば積分範囲がわかるだろう。
＞xg＝∬xdxdy/D
xg=Mx/S
S=∫[x:0,1] {∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1](1-2x^(1/2)+x)] dx=? 　←この積分できるだろうね。
同様に
Mx=∫[x:0,1] x*{∫[y:0,{1-x^(1/2)}^2] dy
=∫[0,1] (x-2x^(3/2)+x^2)] dx=? 　←この積分できるだろうね。
xg=Mx/Sに上で求めたMx,Sを代入すればxg=1/5　が出てくるよ。

>yg＝∬ydxdy/D
yg=My/S, My=∬ydxdy, S=∬dxdy
にxgを求めた式にxをyで置き換えればまったく同じ計算で出てくるね。
Sは単なる面積だから上のSをそのまま使って構わないね。

グラフがy=xに対称だから当たり前だけど
xg=ygとなるね。

お礼

ありがとうございます、解けました！
そういえばy(またはx)の範囲を決めるときは式をy=の形に解いたものを使うのを忘れていました。
それも含めてありがとうございます。

回答No.1

info22

ここでは問題の丸投げとそれに対する丸解答要求の質問は禁止事項ですので
丸解答すれば削除対象になります。

そうならないためには、質問者さんが解答を分かる範囲まで書いて、分からない箇所だけ具体的に質問してその部分の解答を求めるか？または間違っていても全部解答を書いて回答者にチェックしてもらいアドバイスや訂正してもらう形式の質問にするか？ヒントだけもらって自分で解答を考えて作るか？などのいずれかの質問形式にしてくれれば、削除対象になりません。
質問の仕方に以後、工夫してください。

重心(xg,yg)を求める積分形式の定義式
xg=?
yg=?
は分かっていますか？
分かっているなら補足に書いてください。
アドバイスするのにどこから分かっていないのか？
質問者さんはどのレベルでどこまで分かって見えるのか分かりませんので
どこの部分を（から）アドバイスすれば分かりません。
丸解答すれば削除対象になるので丸解答ができません。
補足に分かるところまで解答を書いてください。

補足

そのとおりですね。あせっていたんで丸投げ状態になってました。
領域D＝∬dxdyとして求めて
xg＝∬xdxdy/D、　yg＝∬ydxdy/D
という形で求めてきました。

それで今までやった形式で積分していくときには式と条件から図を描いて
それでxとyの定義域から∬xdxdyや∬ydxdyを求めてきていました。
その際には半円などで軸に対して対称な場合についてを求めていましたという感じです。