数学 重心

質問

以下の問題なんですが、
密度が一定な領域D={(x,y)|x^2+y^2≦1,y≧0}に対する重心を求めよ。
で、この解答が、
重心座標 G(X,Y)
対称性より、X＝0
Y＝{2∫[0,1]y√(1－y^2)dy}/{2∫[0,1]√(1－y^2)dy}＝(1/3)/(π/4)＝4/(3π)
よって、G(0，4/(3π))
と書いてあるのですが、なぜこのような解き方になるのかがよく分かりません。Y=の後からがよく分かりません。解説お願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

>なぜこのような解き方になるのかがよく分かりません。
Y=の後からがよく分かりません。

密度均一な場合の重心の定義式のY方向成分についての定義式そのものですよ。
(今の場合は2次元図形の重心のケース)

教科書や参考URLで定義式を復習確認してしておいて下さい。

参考URL：

https://mathwords.net/hanenjushin

お礼

ありがとうございました❗

補足

分かりやすいサイトを教えて頂きありがとうございます。今回の問題の場合は、xが対称であったので、xの重心は0でしたが、もしxが対称でなかったらどうやって求めれば良いのでしょうか？

回答No.3

info33

No.1 です。
ANo.1のの補足コメントについて

>もしxが対称でなかったらどうやって求めれば良いのでしょうか？

非対称2次元図形 の場合
>密度が一定な領域D={(x,y)|f(x,y)=x^2+y^2-1≦0,y≧0}に対する重心座標 G(X,Y)
M0=∫∫ [D] f(x,y) dxdy=π/2
X＝∫∫ [D] x f(x,y) dxdy/M0
Y＝∫∫ [D] y f(x,y) dxdy/M0

非対称3次元図形 の場合
密度が一定な領域D={(x,y,z)|z^2=1-x^2-y^2, z≧0}に対する重心座標 G(X,Y,Z)
M0=∫∫∫ [D] dxdydz=2π/3,
X＝∫∫∫ [D] x dxdydz/M0,
Y＝∫∫∫ [D] y dxdydz/M0,
Z＝∫∫∫ [D] z dxdydz/M0 .

参考URL：

https://mathwords.net/hankyujushin

回答No.2

noname#232123

空間で説明を略記します。
m[i], (i=1~n) なる質量を有するｎ個の質点がありこれらの質点の座標を、
(x[i], y[i], z[i]) とするとき、
X=(1/M)*Σ m[i]*x[i], Y=(1/M)*Σ m[i]*y[i], Z=(1/M)*Σ m[i]*z[i], (M=Σ m[i])
を座標とする点が重心の座標です。
物体Ｖの密度ρがx, y, zの連続関数で、ρ=f(x, y, z)とするとき、Ｖをｎ個の小部分に分け(⊿V[i]), その体積を⊿V[i]とすると、
⊿m[i]≒f(x[i], y[i],z[i])*⊿V[i], (⊿V[i]→0).
そこで、(1/M)*Σx[i]*⊿m[i], ...
をつくりｎ→∞とすると、
X={∫∫∫[V]x*dm}/{∫∫∫[V]dm}, Y=∫∫∫...
となります。ρが一定のとき、
X=(1/V)*∫∫∫[V]x*dV, ...., (V : 物体の体積) です。
ーーーーー
上記を平面の一部分Ａで考えるとき、図形の重心の座標は、
A*X=∬[A]x*dA, A*Y=∬[A]y*dA
です。(Ａ... Aの面積)