数学で言う重心

質問

Ｑ数学でいう重心って本当に重心なんですか？？
Ａ板を辺ＢＣに平行に細かく分割して棒状にすると、一本一本の重心は中点になるよね。それらはＡＭ上に並ぶ。
すると全体の重心はＡＭ上にあるはずだ。

教えてほしいところ
・確かに、一本一本の重心は中点になり、ＡＭ上に並びますが、なぜそうなるとＡＭ上に全体の重心があるといえるんですか？？

回答No.6

yokkun831 · ベストアンサー

重心は，重力が物体に与える影響に関する限り，そこに質量が集中していると考えてよい。つまり，その物体は重心にあるおもりと置き換えることができる…というところまではよいでしょうか？

上を認めることができるのであれば，三角形が図のように底辺にむかうおもりの集合と考えてよいことはわかるとおもいます。先の回答ではこれをバットのような棒と考えましたが，底辺にむかっておもくなるおだんごのついた棒と考えましょう。上から１番目と２番目の２つのおだんごの重心はおだんごを結ぶ線上にありますね？　２つのおだんごのかわりに，２つの重心に２つぶんの質量をまとめた新しいおだんごと取り替えることができます。３番目と４番目も同じようにまとめることができます。最後に１個あまるなら何もやらずほうっておきます。全体でおだんごの数が約半分になりますが，相変わらずそれらはAM上にあります。同じように上から２つずつ選んで，重心に２つぶんの質量をまとめていきましょう。するとおだんごの数はさらに約半分になりますが，相変わらずおだんごたちはAM上にならんでいます。この操作をくりかえしていけば，最後に全体の重心にひとつにまとまった，三角形の質量に等しいおだんごが残ります。これもAM上にあることになるでしょう？

回答No.5

yokkun831

図を忘れました。ごめんなさい。

回答No.4

yokkun831

まず，重力の影響に関する限り，重心というのは質量がそこに集中しているとしてもさしつかえないという点だということは理解できますか？　たとえば，重心で支えればその物体を静止した状態で支えられるということは，重力がそこに集中して働いているとしてもさしつかえなく，そこを逆向きの力で支えてやればよいということになるわけです。

図Iのように棒の重心が中点になるということは，重力の影響を考える限り，棒の代わりにその中点にある小さなおもりに置き換えても同じだということになります。
図IIのように三角形を棒に分割すれば，それぞれの棒は中点にある小さなおもりに置き換えることができます。ただし，おもりの質量は底辺にむかって大きくなっていきます。先にむかっておもくなっていくバットのような棒ができあがります。さて，この棒の重心は？と考えたとき，棒の中にあるということは直感的にわかりますよね？

補足

直感的にわからないから、苦労しているんです。
教えて下さい

回答No.3

vsl2000

＃２ですが、板と聞いて長方形と早とちりしました。
　その板は三角形ＡＢＣでＭは頂点Ａの対辺ＢＣの中点ですね。

＞なぜそうなるとＡＭ上に全体の重心があるといえるんですか？？

　逆にお尋ねします。重心がＡＭ上にない状態を図に示すことができますか？

回答No.2

vsl2000

Ｑ数学とＡ板のＱとＡは質問と答えという意味ですよね？
　そうでしたらＱと数学、Ａと板との間にスペースやピリオドを入れるなどしたほうがいいですよ。

　それはともかく、その板はＡＢＣＤの４つの頂点がある長方形なんでしょうね？
　そしてＡＭ上のＡはその頂点のひとつなんでしょうけれど、Ｍはその板のどこなのですか？　中点という意味ですか？

＞重力による力のモーメントの和がゼロになってつりあう点
これってどういう意味でしょうか？？

　重心で支えればその物体はどちらにも傾かないで静止するという意味ですよ。

回答No.1

yokkun831

重心とは，重力の作用点，または重力による力のモーメントの和がゼロになってつりあう点です。剛体（変形を考えない）の場合に，その点に重力が集中して働くと考えてさしつかえない代表点ということです。

一本一本の重心が中点になるので，一本一本の質量が中点に集中していると考えてよいということになります。

物体（図形）を複数の部分に分けて，それぞれの重心を考えます。各部の重心に各部の質量が集中していると考えてよいわけですから，それを質点に置き換えることができます。全体の重心は各部の重心に各部の質量が集中したとして仮想した複数の質点の重心に一致します。

たとえば，２つの部分に分けられた各部の重心がわかっているとき，全体は２つの質点に置き換えられますから，全体の重心は各部の重心を結んだ線分上にあります。

三角形の場合，分割した一本一本の重心にそれぞれの質量が集中したと考えると，その全体は底辺にむかって密度が増加する一本の棒に置き換えることができます。その重心が置き換えた棒ＡＭの上にあることは明らかです。

補足

＞重力による力のモーメントの和がゼロになってつりあう点
これってどういう意味でしょうか？？
後、全体的に説明が難しく、理解できません。
もう少し分かり易く教えて下さい