振動力学の問題が分からないので教えてください。

質問

図に示すように長さlのひもに質量mの球が張力Tで取りつけられている。水平位置を基準として上下に微小振動している。

(1)この振動系の振動方程式を求めよ。

(2)固有振動数ωnはどのような式で表されるか。

(3) l=500(mm)、m=2(kg)、張力T=2(kN)の場合実用振動数fnを求めよ。

(1)の振動数方程式がたてられません。どなたか教えていただけると助かります。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

左側の壁とヒモのくっついている所をA、右側の壁のそれをBとします。
で、ヒモが水平の状態から、ヒモと質量mのなす角をθa、θbとします。
すると、
張力Tの垂直方向の成分は、Tsinθa、Tsinθbとなります。
でですね、
xが大きくない場合、
　sinθa ≒ tanθa = x/(l/3) = 3x/l
　sinθb ≒ tanθb = x/(2l/3) = 3x/(2l)
なので、
運動方程式は、
　mx'' = -Tsinθa - Tsinθb = -T{3x/l + 3/(2l)) = -{9T/(2l)}・x
　x'' = -{9T/(2lm)}・x
角速度ω = √{9T/(2lm)} = 3√{T/(2lm)}
となるのではあるまいか。
───計算を平気で間違えるわたしの計算をうかつに信じると、地獄を見ることになります。
あくまで、考え方を参考にして、ご自分で計算してください。───

”重りの重力分「-mg」はどうするのだ！！”などと、
細かいことを気にしてはいけない。
この項は、あってもなくても、角加速度ωは変わらない。
なおも細かいことを気にするヒトには、
「上に引っ張る前では、ヒモは直線ABより下側に伸びているんです。
その平衡している位置からの変位がxです」
とか言って煙に巻く（ポリポリ）。

　mx'' = -mg -Tsinθa - Tsinθb
としても、「-mg」部分は定数なので、固有角振動数ωには関係しないしね～。
───重力分の「-mg」を加えたこの微分方程式を真面目に解けば、このことは分かります───
細かいことを言い出したら、
そもそも張力Tが一定という仮定もおかしいし。
ケチをつけようと思えば、この問題の仮定そのものにいくらでもケチをつけられるし。

xを重りの質量で下に伸びている状態からの変位とするか、
この下側への伸びは無視できるほど小さいとするか（つまり、直線ABとあまり変わらない）、
それとも、
運動方程式に-mgを加えるかは、
質問者さんの判断にお任せします。

繰り替えしますが、
あくまで考え方を参考にして、自分でこの問題を解いてください。
自慢ではありませんが、
わたしの計算力は、はっきり言って、小学生以下です（エヘン）。

お礼

わざわざ回答していただきありがとうございます。参考にしてがんばります。