単振り子の問題

質問

単振り子の長さlで、垂直方向からθの角度で手を離すと、張力をTとすると、最下端での鉛直方向の運動方程式は、F=mα=T-mg=mv^2/l・・・(1)、水平方向の運動方程式は、mα=-mgsinθ・・・(2)ですね。垂直方向のαと水平方向のαは同じものなのでしょうか。これらを区別して書いている教科書は見当たりません。方向が90°違うので、区別すべきだと思うのですが。高校レベルです。よろしくお願いします。

回答No.4

matelin

最下点付近における　おもりの運動方程式は、
加速度の半径方向成分を ar とし、接線成分を at とすれば、
　半径方向の運動方程式は　m×ar = T- mgcosθ　…（１）
　接線方向の運動方程式は　m×at = mgsinθ　…（２）
です。そして、おもりが円運動していることより、
　ar=v^2 / l　…（３）
が、常に成り立ちます。

　この（３）式は（１）や（２）から導ける式ではなく、
　物体が円運動しているという条件から導ける式です。

　（２）より　at = gsinθ　
　（３）より　ar=v^2 / l
この ar とat は、同じになる必然性はありません。全く異なる別の量です。

at は　おもりを加速したり減速したりする働きをします。
ar は　おもりが円軌道上を運動する働きをするのです。

回答No.3

yougamaster

仰せのとおり私も1式と2式のαは別物のような気がします。

半径方向　動径方向　（radial direction）はαr
接線方向　（tangential direction）はαt　などとするのが良いかと思います。

＞これらを区別して書いている教科書は見当たりません。
なぜなのかよくわかりません。
動径方向の加速度と半径方向の加速度を同時に考えている場面が無かったからかもしれませんね。

回答No.2

matelin

回答Ｎo１さんのおっしゃるとおりです。
補足すると、最下点での運動方程式は、鉛直方向はあなたの書いている（１）で正しいですが、水平方向の運動方程式は、ma=0 です。あなたの書いている（２）式において、最下点では　θ＝０　であることに注意してください。

まとめると、最下点での加速度は、鉛直成分は　v^2/l　であり、水平成分は　０　です。

回答No.1

yougamaster

最下端では単振り子に水平方向の力は働かないかと。
したがって、加速度も水平成分は０のはずなので、最下端での加速度の水平成分を考えることがほとんどないために、「これらを区別して書いている教科書は見当たりません。」という事になるのではないかと思います。

補足

yougamaster様
有難うございます。質問がよくなかったので、
「最下端」を「最下端近く」に変更します。
最下端近くでの半径方向の運動方程式は、F=mα=T-mgcosθ=mv^2/l・(1)、水平方向の運動方程式は、mα=-mgsinθ・・(2)ですね。垂直方向のαと水平方向のαは同じものなのでしょうか。方向が90°違うので、区別すべきだと思うのですが。