合同式の証明について

質問

自分の使っている参考書に書かれている合同式の証明で

a≡c (mod m) b≡d (mod m)より

a-c=mp b-d=mq (p,qは整数)とおくことが出来る。
よって
(a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)=mp+mq=m(p+q)

(a-b)-(c-d)=(a-c)-(b-d)=mp-mq=m(p-q)

ab-cd=(c+mp)(d+mq)-cd=m(cq+pd+mpq)

ゆえに(a+b)-(c+d),(a-b)-(c-d),ab-cdはmの倍数であるから
a+b≡c+d(mod m)
a-b≡c-d(mod m)
ab≡cd(mod m) は成り立つ。

と書かれているのですが、全体的によく理解が出来ません。
まず
なぜ
a≡c (mod m) b≡d (mod m)
であれば
a-c=mp b-d=mq (p,qは整数)と、おくことが出来るのかということと

ab-cdからどのような計算をすると(c+mp)(d+mq)-cd
このようになるのかもわかりません。

数学はあまり得意ではないので中学生レベルの学力でも理解できるように
説明していただけると有り難いです。

回答No.1

noname2727 · ベストアンサー

a≡c　mod m の意味はわかりますか？
これは「a と c は m を法として合同である」すなわち「a と c の各々を m で割った余りが等しい」ことを意味します。
つまり、ある整数k，l，rを用いて
a = km + r　・・・(1)
c = lm + r　・・・(2)
と表せます。
(1)-(2)から
a-c = (k+l)m
となります。そこでp　＝　k　+　l　：整数
とおくと求める式ができます。

ab - cd にa,bを代入すると、(c+mp)(d+mq)-cd
がでます。

お礼

皆さんありがとうございます。

補足

ありがとうございます。
もう一つ疑問があるのですが
代入する前に3つの式を

(a+b)-(c+d)
(a-b)-(c-d)
ab-cd

この形にしている理由は何なのでしょうか?

回答No.3

naniwacchi

合同式なんかは使わないで、「mで割ったあまり」として考えればいいのでは？

回答No.2

Tofu-Yo

「差がmの倍数になる2数はmを法として合同」という事実を使っています。

例えば3で割ったら2余る正整数を挙げると、2、5、8、11、…となりますが、どの2数をチョイスしても3の倍数ですよね。

したがって「2数がmを法として合同」を示す代わりに「2数の差はmの倍数」を証明しています。だから合同を証明したい2数の差を求めているんですね。