累次積分

質問

∫[0,1]∫[0,x]√(x+y)dydx

詳しい解説お願いします。

特に√(x+y)をyで積分したときの形がわかりません。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫[0,1]∫[0,x]√(x+y)dydx
=∫[0,1]dx∫[0,x](x+y)^(1/2) dy
yで積分する際はxは[0,1]の範囲の定数として扱えばよいから
=∫[0,1]dx[(2/3)(x+y)^(3/2)][0,x]
=∫[0,1] (2/3){(2x)^(3/2)-x^(3/2)}dx
=(2/3)∫[0,1] {2^(3/2)-1}x^(3/2)dx
=(2/3){2^(3/2)-1}[(2/5)x^(5/2)][0,1]
=(2/3){2^(3/2)-1}(2/5)
=(4/15)(2√(2)-1)

お礼

ありがとうございます。
わかりました。

回答No.3

NemurinekoNya

あちゃ～、
NO１で、
こんな簡単な計算問題を間違ってしまった！！

NO２さんが正しいです。

回答No.1

NemurinekoNya

☆特に√(x+y)をyで積分したときの形がわかりません。
◇はて？

累次積分において、
yで積分する際、
xは定数として扱うのでは・・・。
　∫[0,x]√(x+y)dy
　∫[0,x](x+y)^(1/2)dy
= 1/(1+1/2)・[(x+y)^(1+1/2)][0,x]
= (2/3)・(x + x)^(3/2)
= ……

あとは、普通の積分でしょう。

まさか、xが定数の時、
　∫√(x+y)dy
ができないということはないですよね。
t = x+y
とおいて、置換積分をすればいい。