広義重積分の計算

質問

広義重積分の計算

領域 D = {(x,y)|0≦x≦1-y , 0≦y≦1} に対して、
2重積分 I = ∫∫D log(x+y) dxdy　を求めよ

という問題が分かりません。

(x,y)=(0,0)で不連続なので、

I = lim{c→0} ∫{c→1}∫{0→1-x} log(x+y) dydx

この後の積分計算がうまくいきません。
log(x)log(y)にしてやると、logの中にlogが、
log(x+y)を部分積分でそのまま積分すると、∫y/(x+y)dyのような形が出てきたりして複雑になってしまいます。

そこそこ簡単に出来る方法はないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

とりあえず 1点:
「log(x+y)を部分積分でそのまま積分する」ときに, 「∫y/(x+y)dyのような形」を残さなければいい. log x の原始関数は x log x - x だから, この x を x+y で置き換えれば不定積分はわかるはず.

お礼

logxの原始関数の公式にそのまま代入して良かったんですね。
分かりました、ありがとうございます。

回答No.2

info22_

I=∫[0,1]dy∫[0,1-y]log(x+y)dx
=∫[0,1]dy[(x+y)log(x+y)-(x+y)][x:0,1-y]
=∫[0,1] {-ylog(y)+y-1}dy
=lim[a->+0] [-(1/2)(y^2)log(y)+(3/4)y^2-y][a,1]
=(3/4)-1+lim[a->+0](1/2)(a^2)log(a)
=-(1/4)+(1/2)lim[a->+0]log(a)/a^(-2)
=-(1/4)+(1/2)lim[a->+0] a^(-1)/{(-2)a^(-3)}
=-(1/4)-(1/4)lim[a->+0]a^2
=-(1/4)

お礼

解けました、ありがとうございます。