逆関数を求める問題です。

質問

関数y=(2e^x-1)/(e^x+1)の逆関数を求めよ。

対数を用いて解くのだと思いますが、計算過程がよくわかりません。

どなたか解説していただけないでしょうか。

回答No.1

info22_

y=(2e^x-1)/(e^x+1)=2-3/(e^x+1)
このグラフは単調増加関数(x=-∞→∞に対してy=-1→2)であるから
xとyが1:1に対応する。したがってxの全実数範囲でyは一価関数なので逆関数が存在する。
-1<y<2, -∞<y<∞
xとyを入れ替えて
　x=2-3/(e^y+1) (-1<x<2)
　3/(e^y+1)=2-x>0
　e^y+1=3/(2-x)
　e^y=-1-3/(x-2)>0 (-1<x<2)
　y=ln(-1-3/(x-2))=ln((-x-1)/(x-2))=ln((x+1)/(2-x)) (-1<x<2)

(答え) y=ln((x+1)/(2-x)) (-1<x<2)
(注)ln()=log_e()は自然対数（対数の底がe(ネイピア数)の対数）です。