数学の質問です。図形です
数学の質問です。
三角比と図形の問題です。
別解を考えたいです。
半径１の円に内接する四角形ABCDに対し、
L=AB^2-BC^2-CD^2+DA^2
とおく三角形ABDと三角形BCDの面積をそれぞれSおよびTとする。また角A＝Θ
ただし０度＜Θ＜９０度とおく。
Θを一定としたとき、Lの最大値を求める。
という問題なのですが、頂点A,Cから線分BDに引いた垂線をAP、CQとするとS+T＝1/2BD[AP+CQ]
またAP+CQ≦円の直径より求める値は・・・・
としないほかの方法でときたいのですが、何か方法はないですか？
ちょっと考えてみました。
△ABD,△CBDでそれぞれ余弦定理
BD^2=AB^2+DA^2-2*AB*DA*cosθ
BD^2=BC^2+CD^2-2*BC*CD*cos(180°-θ)
AB^2+DA^2-2*AB*DA*cosθ=BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosθ
AB^2-BC^2-CD^2+DA^2=2cosθ(AB*DA+BC*CD)
L=2cosθ(AB*DA+BC*CD)
S+T=1/2AB*DA*sinθ+1/2BC*CD*sin(180°-θ)
2(S+T)=sinθ(AB*DA+BC*CD)
AB*DA+BC*CD=2(S+T)/sinθ
L=4(S+T)/tanθ
S+Tが最大となるのはACが直径となるとき
よって∠ABC=∠ADC=90°
S+T=1/2AB*BC+1/2CD*DA
S+T=1/2AB*DA*sinθ+1/2BC*CD*sinθ=1/2AB*BC+1/2CD*DA や
AB^2+BC^2=DA^2+CD^2=AC^2=4
を使ったら解けるかなと思ったのですが途中で力尽きました。
ACが直径となるときS+Tがどうして最大となっているのでしょうか？
またAB^2+BC^2=DA^2+CD^2=AC^2=4
はどうして成り立っているのですか？
頂点A,Cから線分BDに引いた垂線をAP、CQとするとS+T＝1/2BD[AP+CQ]
またAP+CQ≦円の直径より求める値は8COSΘです
ここでどうしてS+TをSINΘの式ではなくいちいち補助線まで引いて別の表し方に下のでしょうか？
SINΘのあらわし方で解くことはできないのでしょうか？
