三角比&平面図形についての問題です

質問

四角形ABCDにおいて、AB=1,∠ABC=45゜,∠ACB=60゜,∠BAD=105゜,∠ADB=45゜とする。これの解答について質問です。
(Ｑ１)この時、対角線ACの長さは？
(Ｑ２)また、∠ABDは何度？
(Ｑ３)(Ｑ２)より、AD=？また、CD=？
解説も踏まえてお願いします

回答No.1

sono0315 · ベストアンサー

(1)三角形ABCについて正弦定理
∠Bと∠Cについて解けばよい

(2)三角形ABDについて見る
∠A＝105、∠D＝45　2つの角が分かるからもう1つを求める
のは内角の和＝180の小学内容の知識で解ける

(3)ADの求め方
三角形ABDについて正弦定理をつかう(∠Bと∠Dについて)
CDの求め方
三角形ACDについて2辺の長さが分かってます。
∠Aについての余弦定理を立てるとCDがでます

回答No.3

topfall

中学校の問題ですよね。
中学校までの学習内容で、解説します。
ただし、計算は、ご自身でなさって下さいね。
そうしないと、身につかないので。

前提として、図を描きましょう。
図というより、お絵かきでいいです。
とにかく、四角形を書いて、ＡＢＣＤを書き込み、わかっている情報を書き込んでいきましょう。
（四角形は、左上を頂点Ａ、左下を頂点Ｂというように、左上から反時計回りに。）
なので、絵は大きめに書いておいたほうが良いですね。

（Ｑ１）頂点Ａから、辺ＢＣへ垂線をおろします。辺ＢＣとの交点を点Ｐとしましょう。
　　　　ココで、△ＡＢＰは見覚えのある形になっていますね。(正方形の半分）
　　　　ということは、△ＡＢＰに比を用いて、ＡＰの長さがでますね。
　　　　次は、△ＡＣＰ。これも、見覚えのある形ですね。（正三角形の半分）
　　　　ＡＰがわかったので、ここも比を用いればＡＣの長さはでますね。
（Ｑ２）図に、与えられた角度の情報を全て書き込んでいれば、わかると思います。
　　　　△ＡＢＣで、∠Ａと∠ＡＤＢがわかっているので、引き算するだけです。
（Ｑ３）まず、ＡＤ。
　　　　頂点Ａから、対角線ＢＤに垂線をおろします。ＢＤとの交点を点Ｑとしましょう。
　　　　∠ＢＡＱが何度かわかりますね。また、見覚えのある三角形になりました。（正三角形の半分）
　　　　比を用いて、ＡＱの長さを求めます。
　　　　ココで、∠ＱＡＤも何度かわかりますね。まだ、見覚えのある三角形です。（正方形の半分）
　　　　比を用いてＡＤの長さをもとめられますね。
　　　　次に、ＣＤ。
　　　　頂点Ｄと点Ｐを結びます。
　　　　この線（ＰＤ）と対角線ＡＣの交点を点Ｒとしましょう。
　　　　ここで、△ＡＤＰにおいて、ＡＤ＝ＡＰとなっています。
　　　　また、∠ＤＡＰの大きさがわかりますね。
　　　　二辺の長さが等しい＝二等辺三角形、更にその二辺に挟まれている角の大きさが６０度。
　　　　よく知っている三角形ですね。（正三角形）
　　　　ＤＰの長さが、自然とでますね。
　　　　ここで、∠ＤＡＲと∠ＰＡＲがわかっています。等しいですね。
　　　　つまり、ＤＰとＡＣは、垂直に交わっていて、点ＲはＤＰの中点。
　　　　上記より、△ＣＰＤは二等辺三角形で、ＣＲは∠ＤＣＰの二等分線。なので、∠ＲＣＤがわかります。
　　　　また、よく知っている三角形ですね。
　　　　まずＤＲの長さを求めます。（△ＡＤＲで、比を用いる。）
　　　　そして、ＣＤの長さを求めます。（△ＣＤＲで、比を用いる。）

図が無いのでわかりにくいと思います。
もし、わからなければ補足して下さい。
できる限り、解説致します。

回答No.2

naniwacchi

長さに関する条件が少なすぎるように見えますね。
ただ、角度には４５度や６０度といった「おなじみの」角度が出てきています。

点Aから辺BCに垂線を下ろしてみてください。（その足を点Hとでもしましょう）
角Aのところに注目していくと、いろいろと角度が出てきます。

あとは、正弦定理・余弦定理のいずれかを使うことになります。
#1の方のいわれるとおり、角度がいろいろでているので正弦定理がいいと思います。