AとBが行列式、TR共に4の時、AとBは相似か？

質問

問

2x2行列A、Bにおいて、
|A|=|B|=trA=trB=4 のとき行列AとBは必ず相似か？
＊＊＊

上記問題が分かりません。
お分かりの方、お助け頂けますと幸いです。

私の考えとしては、λ＝２が重複度２となり、
固有空間が基底を持たないため、AもBも対角化できないため、
必ずしも相似とは言えない気がするのですが、
実際に
「２　１　
０　２」　と
「１　１
－１　３」
など、
例をつくって試してみると逆行列が存在するSがあり、
成り立つように見えます。

証明も含めてお助け頂けますと幸いです。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

記号をかんたんにするために I := ((1, 0), (0, 1)) [単位行列]とN := ((0, 1), (0, 0)) を導入しておきます．

反例をつくります．
A := 2I, B := 2I + N
としてみると|A| = |B| = trA = trB = 4を満たすことはすぐわかります．一方Bの最小多項式はN^2 = 0ゆえ
(x - 2)^2
と重根を持ちます．したがってBは対角行列（特にA）と相似ではありません．

もし最小多項式を使った議論に不慣れでしたら直接示してもあまり手間は変わりません．（その場合，上と違って反例を見つけることに苦労はするかもしれませんが．）実際，AがBと相似ならば，ある正則行列Pが存在して
A = P^(-1)BP
となります．すると
0 = A - 2I = P^(-1)BP - 2I
よりB = 2Iとなって矛盾が導かれるのでAとBが相似であることはありません．

お礼

わかりました！ご丁寧な回答、本当にありがとうございます。
最小多項式につきましてはまだ勉強したことがないので、
今後使えるようになっていきたいと思います。