ラプラス変換について

質問

（2ｔ+1）e^(-2t-1)をラプラス変換したいのですが、うまくいきません。e^(-2t-1)の-1をどうすればいいのかわかりません。
よろしくおねがいいたします。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

使う公式

e^at ⇒ 1/(s-a)
te^at ⇒ 1/(s-a)^2

与式を公式をあてはめやすいように変形
（2ｔ+1）e^(-2t-1)=(2/e)te^(-2t) + (1/e)e^(-2t)

なのでラプラス変換は (2/e)/(s+2)^2 + (1/e)/(s+2)

ポイントは e^(-2t-1) = e^(-2t)e^(-1)=(1/e)e^(-2t)
で式変形

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の補足について
>申し訳ございません。よくわからないです。

教科書のラプラス変換表をよく見てラプラス変換の公式を当てはめているだけです。まるまる解答を見ても理解できないのでは、教科書を復習しなおさないとダメですね。

>積分をせずに、ラプラス変換の性質で解いていきたいのですが、

A#3はラプラス変換表の公式を使って、まさにその通り解いているのだけど…！！

>どの公式をどのように当てはめていけばいいのでしょうか ？
教科書のラプラス変換表を見ても、どこでどのラプラス変換の公式を使っているかもわからないのでしょうか？

>>L{（2ｔ+1）e^(-2t-1)}(s)

f(t)のラプラス変換F(s)の書き方
　F(s)=L{f(t)}(s)
これはf(t)のラプラス変換L{f(t)}がsの関数であることを示す書き方です。普通F{・}のFは筆記体で書きます。

f(t)=(2ｔ+1）e^(-2t-1) (t≧0)
これは
　(2t+1)=2(t+(1/2))
　e^(-2t-1)=e^(-2t)*e^(-1)={e^(-2t)}/e
なので
f(t)=(2/e)(ｔ+(1/2))e^(-2t-1) (t≧0)
F(s)=L{f(t)}(s)
=F{(2/e)(ｔ+(1/2))e^(-2t-1)}(s)

ラプラス変換は線形性が成り立つ変換なので
{ }内の定数係数(2/e)は括弧の外に出せて

>>=(2/e)L{(t+(1/2))e^(-2t)}(s)

公式F(s)=L{g(t)e^(-at)}(s)=L{g(t)}(s+a)=G(s+a)を用いて
g(t)=t+(1/2),a=2

>>=(2/e)L{(t+(1/2))}(s+2)
後ろの(s+2)はF(s)のsに(s+2)を代入する操作F(s+2)を表す。

ラプラス変換の線形性より
=(2/e)L{t}(s+2)+(2/e)L{1/2}(s+2)
=(2/e)L{t}(s+2)+(1/e)L{1}(s+2)
ラプラス変換の公式
L{t}(s)=1/s^2,
L{1}=1/s
を適用し、sに(s+2)を代入します。

>>=(2/e){1/(s+2)^2+(1/2)/(s+2)}

分母を(s+2)^2で通分して
>>=(1/e){2+(s+2)}/(s+2)^2

分子を整理して
>>=(1/e)(s+4)/(s+2)^2

以上ですが、これでお分かりになりました！？

回答No.3

info22_

L{（2ｔ+1）e^(-2t-1)}(s)
=(2/e)L{(t+(1/2))e^(-2t)}(s)
=(2/e)L{(t+(1/2))}(s+2)
=(2/e){1/(s+2)^2+(1/2)/(s+2)}
=(1/e){2+(s+2)}/(s+2)^2
=(1/e)(s+4)/(s+2)^2

補足

申し訳ございません。よくわからないです。積分をせずに、ラプラス変換の性質で解いていきたいのですが、どの公式をどのように当てはめていけばいいのでしょうか

回答No.2

etaoinshadaloo

ラプラス変換：
F(s)=∫(0,∞)f(t)e^(-st)dt
これを演算子Lで定義すると、

題意の関数をf(t)=(2t+1)e^(-2t-1)として、
L[f(t)]=∫(0,∞)f(t)e^(-st)dt
=∫(0,∞)(2t+1)e^(-2t-1)e^(-st)dt
=2∫(0,∞)te^(-2t-1-st)dt + ∫(0,∞)e^(-2t-1-st)dt

ここで、g(t):=e^(-2t-1-st)と定義します。
その原始関数は、G(t)=e^(-2t-1-st)/(-2-s)だから、
(第2項)=[e^(-2t-1-st)/(-2-s)]_{0}^{∞}
=-(0-1)/((s+2)e)=1/((s+2)e)

また、部分積分を用いて、
∫(0,∞)tg(t)dt
=[tG(t)]_{0}^{∞} - ∫(0,∞)1・G(t)dt
=0-∫(0,∞)G(t)dt
=∫(0,∞)e^(-2t-1-st)/(s+2)dt
=(1/(s+2))×∫(0,∞)g(t)dt
=(1/(s+2))×1/((s+2)e)

従って、
(第1項)=2×(1/(s+2))×1/((s+2)e)
これに、(第2項)=1/((s+2)e)を加えて、
(与式)=(s+4)/(((s+2)^2)e)
私の計算では上記の解答を得ました。

回答No.1

Tacosan

e^(x+y) = e^x e^y.