この2つのラプラス変換が分かりません(~_~;)

質問

この2つのラプラス変換が分かりません(~_~;)
どの公式を使えば良いかなど、ヒントだけでも非常にありがたいです。
1. t∮0→t e^-3γ sin4γ dγ
2.∮0→tdu ∮0→u sinav/v dv a>0
です。
明日がテストなので急いでいます…
よろしくお願いしますm(_ _)m

γ＝ガンマ

回答No.1

jcpmutura

1.
f(t)
=t∫_{0→t}e^{-3γ}{sin(4γ)}dγ
=t∫_{0→t}e^{-3γ}{i(e^{-4γi}-e^{4γi})/2}dγ
=ti∫_{0→t}(e^{-3γ}e^{-4γi}-e^{-3γ}e^{4γi})dγ/2
=ti∫_{0→t}(e^{-3γ-4γi}-e^{-3γ+4γi})dγ/2
=ti∫_{0→t}(e^{-γ(3+4i)}-e^{γ(4i-3)})dγ/2
=ti[-e^{-γ(3+4i)}/(3+4i)+e^{γ(4i-3)}/(3-4i)]_{0→t}/2
=ti([1-e^{-t(3+4i)}]/(3+4i)+[e^{t(4i-3)}-1]/(3-4i))/2
=ti{(3-4i)[1-e^{-t(3+4i)}]+(3+4i)[e^{t(4i-3)}-1]}/2/25
=t[4+e^{-3t}{3i(e^{4it}-e^{-4it})/2-4(e^{4it}+e^{-4it})/2}]/25
=t[4-{3sin(4t)+4cos(4t)}e^{-3t}]/25

L(t)=1/s^2

L{sin(4t)}=4/(s^2+16)
↓
L{tsin(4t)}
=-(d/ds){L{sin(4t)}}
=-(d/ds){4/(s^2+16)}
=8s/(s^2+16)^2
↓
L[tsin(4t)e^{-3t}]
=8(s+3)/{(s+3)^2+16}^2
=8(s+3)/(s^2+6s+25)^2

L{cos(4t)}=s/(s^2+16)
↓
L{tcos(4t)}
=-(d/ds){L{cos(4t)}}
=-(d/ds){s/(s^2+16)}
=(s^2-16)/(s^2+16)^2
↓
L[tcos(4t)e^{-3t}]
={(s+3)^2-16}/{(s+3)^2+16}^2
=(s^2+6s-7)/(s^2+6s+35)^2

L{f(t)}
=L{t[4-{3sin(4t)+4cos(4t)}e^{-3t}]/25}
=(4/25)L(t)-(3/25)L[tsin(4t)e^{-3t}]-(4/25)L[tcos(4t)e^{-3t}]
=4/(25s^2)-(3/25)8(s+3)/(s^2+6s+25)^2-(4/25)(s^2+6s-7)/(s^2+6s+35)^2
=4/(25s^2)-4{6(s+3)+s^2+6s-7}/{25(s^2+6s+25)^2}
=4/(25s^2)-4(s^2+12s+11)/{25(s^2+6s+25)^2}
=4{(s^2+6s+25)^2-(s^2+12s+11)s^2}/{25s^2(s^2+6s+25)^2}
=4(3s^2+12s+25)/{s^2(s^2+6s+25)^2}

2.
a>0
∫_{0→a}cos(xv)dx=sin(av)/v
だから
f(t)
=∫_{0→t}(∫_{0→u}[{sin(av)}/v]dv)du
=∫_{0→t}(∫_{0→u}[∫_{0→a}cos(xv)dx]dv)du
↓xによる積分とvによる積分は交換可能だから
=∫_{0→t}(∫_{0→a}[∫_{0→u}cos(xv)dv]dx)du
↓xによる積分とtによる積分も交換可能だから
=∫_{0→a}(∫_{0→t}[∫_{0→u}cos(xv)dv]du)dx
=∫_{0→a}[∫_{0→t}([sin(xv)/x]_{v=0→u})du]dx
=∫_{0→a}(∫_{0→t}[sin(xu)/x]du)dx
=∫_{0→a}([-cos(xu)/x^2]_{u=0→t})dx
=∫_{0→a}[{1-cos(xt)}/x^2]dx

L(1)=1/s
L{cos(xt)}=s/(s^2+x^2)
だから
L{f(t)}
=L{∫_{0→a}[{1-cos(xt)}/x^2]dx}
↓xによる積分とラプラス変換(tによる積分)は交換可能だから
=∫_{0→a}([L(1)-L{cos(xt)}]/x^2)dx
=∫_{0→a}([(1/s)-{s/(s^2+x^2)}]/x^2)dx
=(1/s)∫_{0→a}{1/(s^2+x^2)}dx
=(1/s^2)arctan(a/s)

お礼

テストできました！
ありがとうございました！