数列の収束・発散について、

質問

次の級数の和を求めよ。

と言う問いで、求め方が解りません。

（１） (1/1.3)+(1/2.4)+(1/3.5)・・・・+(1/n(n+2))+・・・

（２） (1/1.3)+(1/3.5)+(1/5.7)・・・・+(1/(2n-1)(2n+1))+・・・

と言う問いになります。
初項＝a , 公比＝r , を求めて解くのか、
また、公比の部分が良く解らないので、

いろんな解き方があると思いますが、
解りやすくお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.3

bgm38489

まず、等比数列の和ではありませんので、公比なんて使いようがありませんね。

（1）の場合、1/n(n+2)=(((n+2)-n)/n(n+2))*(1/2)=(1/2)((1/n)-1/(n+2))と変形できますね。全体の級数を求めるには、(1/n)についての級数を求め、それから(1/(n+2))の級数を引いて、1/2すればよいわけです。
（2）も、同じように考えれば。要するに、n項の式を、二つの分数に分けることがポイントです。

回答No.2

spring135

（１）S=(1/1.3)+(1/2.4)+(1/3.5)・・・・+(1/n(n+2))+・・・

1/n(n+2)＝[1/n-1/(n+2)]/2に注目して

Sn=[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6....+1/n-1/(n+2)]/2

=[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]/2

S=lim(n→∞)Sn=3/4

（２）S=(1/1.3)+(1/3.5)+(1/5.7)・・・・+(1/(2n-1)(2n+1))+・・・

1/(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2に注目して

Sn=[1/1-1/3+1/3-1/5+....1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

=[1-1/(2n+1)]/2

S=lim(n→∞)Sn=1/2

回答No.1

noname#195146

ヒントだけ。分母がnについての一次式であれば、解けるんではないですか？

　（１）について試しにやってみます。a, bをある実数として、

1/n(n+2)=a/n+b/(n+2)

と置いてみます。右辺を分母をn(n+2)に通分して足してみます。

a/n+b/(n+2)=a(n+2)/n(n+2)+bn/n(n+2)={a(n+2)+bn}/n(n+2)={n(a+b)+2a}/n(n+2)

　これが1/n(n+2)と等しいのですから、分子が1のはずです。

n(a+b)+2a=1

　nが幾つであっても、これが成り立たねばなりません。すると、

a+b=0, 2a=1

とできれば、nが幾つであっても成り立ちます。この一次方程式は簡単に解けます。

∴a=1/2, b=-1/2

　すると、元の式は以下のように変形できることが分かります。

1/n(n+2)=1/2n-1/2(n+2)

　右辺の1/2n、1/2(n+2)について、それぞれを別々に級数の和と計算できれば、与えられた式の級数の和も計算できます。