虚数とベクトルの関係で・・・

質問

虚数とベクトルの関係ですが、虚数はベクトルの要素のようにあつかえるとあります。しかし私にはピンとこなかったので自分なりに次の式で確かめようとしました。
しかし、どうも考えが循環しているような気がします。ベクトルでベクトル、虚数で虚数の定義をしているような・・・むずがゆいような感じがどうもします。
私の力では考えが堂堂巡りしているようで、どこで循環しているかわかりませんでした。
循環の原因についてなにかヒントでもよいのでお願いします。

(1) とりあえずα、βを単なる2元数とします。
α = a1 + jb1 β = a2 + jb2

(2) 条件として
|αβ| = |α||β| または |αβ|^2 = |α|^2 |β|^2 αβは普通の積とします。

(3) αとβをベクトルとして絶対値を計算します。
|α|^2 = a1^2 + b1^2 |β|^2 = a2^2 + b2^2
|α|^2|β|^2 = (a1^2 + b1^2)(a2^2 + b2^2)
= (a1a2)^2 + (a1b2)^2 + (b1a2)^2 + (b1b2)^2

(4) αとβの積をベクトルとして絶対値を計算します。
αβ = (a1 + jb1)(a2 + jb2) = a1a2 + ja1b2 + jb1a2 + jjb1b2
j項とそれ以外で並べ替えると
αβ = (a1a2 + jjb1b2) + j(a1b2 + b1a2) となります

(5) 従って
|αβ|^2 = (a1a2 + jjb1b2)^2 + (a1b2 + b1a2)^2
= (a1a2)^2 + 2jja1a2b1b2 + (jjb1b2)^2 + (a1b2)^2 + 2a1b2b1a2 + (b1a2)^2

(6) したがってベクトルとして扱うと
|αβ|^2 - |α|^2|β|^2 = 2a1a2b1b2(j^2 + 1) + (j^4 - 1)(b1b2)^2 = 0

j^2 = -1 j^4 = 1 なので j = √-1

(7) 虚数 i = √-1 なので 複素数での計算（積）はベクトルで計算をしていることと同じではないか・・・な？

回答No.1

Ichitsubo · ベストアンサー

質問者さんの考えの中で、「ベクトルとして扱う」といいながら、ベクトルとして一切扱っていないんですが。

α＝a+bj、β＝c+dj、ベクトルs＝(a,b)、t＝(c,d)としたとき
和：α＋β＝(a+c)+(b+d)j
　　s＋t＝(a+c,b+d)

積：αβ＝ac+adj+bcj-bd＝(ac-bd)+(ad+bc)j
外積：s×t＝ad-bc　内積：s・t＝ac+bd

うーん、ちがうかな。

複素数は極形式から行列表示することがありますね。
複素数z＝x+yj＝r(cosθ+jsinθ)＝re^(jθ)を2×2行列r(cosθ -sinθ, sinθ cosθ)
と表します。
s＝r1(cosθ+jsinθ)＝r1e^(jθ)と2×2行列S=r1(cosθ -sinθ, sinθ cosθ)
t＝r2(cosφ+jsinφ)＝r2e^(jφ)と2×2行列T=r2(cosφ -sinφ, sinφ cosφ)

st＝r1e^(jθ)・r2e^(jφ)＝r1r2e^(j(θ+φ))＝r1r2(cos(θ+φ)+jsin(θ+φ))

S×T＝r1r2(cosθcosφ-sinθsinφ -(cosθsinφ+sinθcosφ), sinθcosφ+cosθsinφ -sinθsinφ+cosθcosφ)
　　＝r1r2(cos(θ+φ) -sin(θ+φ), sin(θ+φ) cos(θ+φ))　∵加法定理より
T×Sも同様

お礼

回答ありがとうございます。
虚数を改めて考えた時 x^2 = -1 （x= i）は何を表しているのだろうと考えました。素直に考えれば x^2 = -1なのだからこれは-の(つまり不足する)正四角形の面積をあらわしていて、結局「虚数は不足する正四角形の1辺を表しているにすぎないのでは？」と考えました。 虚数は簡単に作り出すことが出来て x^2 = a^2-b^2 でa<bであればxは虚数になります。xは右辺がどなるかは知らないのですから -値になるとき新しい定義域を要求しているだけに過ぎないと思いました。 しかし不思議なのは複素数となったとき、世にこれがベクトルと同じといわれていて、ガウス平面では直交してその絶対値をベクトルと同じに計算します。虚数（複素数）を単に定義した数とした場合どうしてそんな考えがでてくるのだろうか？ピンとこないというか腑に落ちないなあ・・・ということで、ベクトルの関係の中でなにか虚数を要求するものが出てくるのでは？・・・と思って考えたしだいです。

補足

お礼の後ですが、結局次のようなことではないかと思いました。
「複素数がベクトルと同じ」というのは複素数の絶対値を√(実^2+虚^2)=半径と定義したとき、単に「(加法の場合は)ベクトルと同じ」になるということで、本来ベクトルの積は定義が無い。なので自由に定義しても良い？ ベクトルの外積は物理ではトルク等の意味ですが、複素数から出る積（|αβ|=|α||β|となる積）は特に使い道もないのであえてベクトルでは特に定義もされてない（例えば何何積など特別な呼び名も無い）・・・ということだと思います。なので結局私の質問はやはり循環しているようです。 しかし私的にはもやもやが晴れました。

回答No.2

arrysthmia

「単なる2元数」を定義せずに話を始めている辺りが
相当怪しいのですが、普通に解釈することはできそうです。
特に循環は無いような気がします。

(1) 実２次ベクトル空間 V と、その基底 { e, j } を考える。
V 上に、何か乗法(と呼ぶ新しい演算)を定義したい。 その要件として、
(2) V の任意の元 α,β について |αβ|=|α||β|。(絶対値はベクトルの絶対値)
(4) 積 αβ は、α,β それぞれについて線型。また、ee=e, ej=je=j である。
と仮定する。すると、
(3)(5)(6) の計算から、jj=-e であることがわかる。
(7) この乗法と、ベクトルの加法によって、V は複素数とみなせる。

乗法が、(2)(4) で矛盾無く定義できていることには、少し説明が必要でしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
|αβ|=|α||β|についてですが、あまり難しく考えませんでした。
αβ二つをベクトルとするとこれを回転し、例えばβを実軸に合わせるまで回転させると実数だけとなるのでこれをαに乗ずると|αβ|=|α||β|になる、これがベクトルならどのような角度でも同じ関係が保たれるはず・・・と考えたまでです。 本当にこれでよいかどうかは私ではまだ力不足でわかりません。ベクトルに関してはとあるサイト（物・・・のかぎ・・・）で勉強中で双対基底を終わり、次のテンソルの中間程度の知識しかまだありません。
積 αβ の線型・・・・は私自身もう少し勉強が必要です。 そういえば（物・・・のかぎ・・・）でもやけに重要性を強調していましたが、なにか証明しようとしたらやはり基礎はきちんと勉強しないといけないんでしょうね。