虚数の問題です

質問

「x^3 = 1 の解の虚数解のひとつをωとすると、ωは虚数だから、
(ab-a-b)ω-a-b+4=0 のとき、ab-a-b=0, -a-b+4=0 (a,b は実数)」と本に書いてあったのですが、ωって実数と虚数を両方持っていますよね。つまりω=x+yi (x,yは実数)の形だから、ωのxの部分とab-a-bがかけ合わさったら、これも実数部分になりますよね。そう考えると、この解答は間違いと思うのですが、どう考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

hikaru_mac · ベストアンサー

あなたの言う事は半分あたっててはんぶんはずれです。

ω=p+qiと書くと、（p,qは定数で、0ではない←ωはx^3 = 1の虚数解のひとつなので）

(ab-a-b)p+(ab-a-b)qi+(-a-b+4)=0
となります。
ここで左辺と右辺を見比べて、左辺の実部も虚部も0になるはずで
(ab-a-b)p+(-a-b+4)=0　　　…(1)
(ab-a-b)q=0　　　　　　　…(2)
の二つの式が出るんだけど
二つ目の式でqは0ではないから
(ab-a-b)=0　　　　　　　　…(3)
とできる。
そして、(1)から(3)の式を引いいてp(0ではない)で割ると
(ab-a-b)=0　　　　　　　　…(4)
がでてくる。
(3),(4)は、あなたの本の回答と同じですね。

あなたの本では上の作業が省略さえれていたのですね。

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ところで虚数と言う数はx+yiというようにあらわされますが
xを実部、yiを虚部と言います。
虚部だけで実部が0の虚数を純虚数と言います。

お礼

hikaru_macさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですね。省略されていた部分がわかって疑問が晴れました。もう一度きっちりと復習しておきます。どうもありがとうございました。

回答No.4

hinebot

念のため虚数と複素数の関係についてまとめときます。

複素数⊃実数、複素数⊃虚数⊃純虚数　です。

複素数はp,qを実数,iを虚数単位として p+qi で表されます。
で、pを実部、q(またはqi)を虚部といいます。

複素数のうち、虚部が0、つまりq＝0 なものが、実数です。
複素数のうち、虚部が0でない、つまりq≠0であるものが虚数です。
さらに、虚数のなかで実部が0、つまりp＝0であるものが純虚数です。

混同されませんように。

お礼

虚数と複素数の関係についてまとめていただいてどうもありがとうございます。フォローしていただいたので、もういちど、あやふやなところを確認させていただきます。hinebotさんどうもレスありがとうございました。

回答No.3

hinebot

ω= yi じゃないですよ。
ω= x+yi(x,yは実数）です。
>「虚数」は、ご質問文中で「yi」とあらわされているもので、
そうではなく、「虚数」は　p+qi(p,qは実数)と表した複素数の中で、q≠0のものをいいます。
では実際にωの項にω= x+yi(x,yは実数）をいれてみましょう。
(ab-a-b)ω＝(ab-a-b)(x+yi)=(ab-a-b)x+(ab-a-b)yi です。

ここで、y≠0ですから、与式が成り立つためには　ab-a-b=0 が第1条件です。
すると、当然(ab-a-b)x＝０ですから、実数部で残るは -a-b+4=0
つまり、
ab-a-b=0, -a-b+4=0 が条件となるわけです。

お礼

＞「虚数」は　p+qi(p,qは実数)と表した複素数の中で、q≠0のものをいいます。

hinebotさんこんにちは。やはり、そういう理解で良かったんですね。安心しました。

＞ここで、y≠0ですから、与式が成り立つためには　ab-a-b=0 が第1条件です。すると、当然(ab-a-b)x＝０ですから、実数部で残るは -a-b+4=0つまり、ab-a-b=0, -a-b+4=0 が条件となるわけです。

なるほど、ab-a-b=0 をすぐにもとの式に代入した方が早く答えが出せますね。本を見たときは一瞬焦りましたが、解決できて良かったです。ありがとうございました。

回答No.1

2nd

数学から離れて久しいため「自信なし」です。

「虚数」と「複素数」を混同されているようにお見受けします。
「虚数」は、ご質問文中で「yi」とあらわされているもので、
「複素数」が「実数」+「虚数」であらわされる数です。

なので、ω=x+yi ではなく ω= yi となり、解答は正しいことを言っていると
思います。

お礼

＞「虚数」と「複素数」を混同されているようにお見受けします。「虚数」は、ご質問文中で「yi」とあらわされているもので、「複素数」が「実数」+「虚数」であらわされる数です。

2ndさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。すいません、「虚数＝複素数」だと思うのですが。学校の先生に間違えて何度もしかられたのではっきりと覚えています。