振動の問題

質問

天井の一点Ｏから質量の無視できるバネ(自然長l0,ばね定数k)が吊り下げられていて、バネのもう一端Ｐに長さ２a,質量Ｍの一端がとりつけられている。Ｏを原点として水平方向にｘ軸、鉛直下向きにy軸をとる。この合成系が重力の元で平面振動している。ばねと棒がｙ軸となすかくをそれぞれφ、θとするとき以下の問に答えよ。

（問）棒の運動方程式を求め、合成系のつりあいの位置を求めた後、そのつりあいの周りの微小振動に対する基準振動の振動数を求め、対応する基準振動はどのようなものか説明せよ

一応、途中までやってみたんですが(自信はないです）
棒の重心の運動方程式は,Fをばねから受ける力とすると
ｘ成分：　Mx''=-F*sinφ・・・(1)
ｙ成分: My''=Mg-F*cosφ・・・(2)
重心のまわりの回転 :I*θ''=-F*a*sin(θ-φ)・・・(3)
(Iは慣性モーメント）
つりあいの位置は,(1)=0より、φ=0、(2)よりF=Mg,(3)よりθ=0,以上より、θ=φ=0、棒の重心の座標(0,l0+Mg/k+a)。

この後、つりあいの位置の周りの微小振動の基準振動を求めたいのですが、よくわかりません。
バネが伸び縮みするので、どのように手をつけていいのか余計にわからなくなっています。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

普通に計算しても、解析力学を使っても
簡単にはならない問題だと思います。

相当近似を用いて、いくらか簡単な形にはなると思いますが、基準振動を求めるときには煩雑になります。

まず、微小振動なので
sinφ≒φ、sinθ≒θ、cosφ≒1,cosθ≒1
また、バネのl0＋Mg/kからの微小な伸びをΔrとします。xとyを棒の重心の位置とします。
Fx=-k(Mg/k＋Δr)sinφ≒-Mgφ（∵Δr・φ≒0)
Fy=-k(Mg/k＋Δr)cosφ＋Mg≒-kΔr
重心の周りの回転：Iθ”=-k(Mg/k＋Δr)asin(θ-φ)
≒-Mga(θ-φ) (∵Δr・(θ-φ)≒0)

x=(l0＋Mg/k＋Δr)sinφ＋asinθ≒(l0＋Mg/k)φ＋aθ
y=(l0＋Mg/k＋Δr)cosφ＋acosθ≒l0＋Mg/k＋Δr＋a

これより運動方程式は
M(l0＋Mg/k)φ"＋aθ"=-Mgφ
MΔr"=-kΔr
Iθ"=-Mga(θ-φ) (I=1/3・Ma^2)
上の式のうち、１番目と3番目を使って
基準振動を求めます。つまり、うまく足したり引いたりして独立な単振動の形の式を二つ作るのです。