すべての周期関数は、三角関数の級数和

質問

すべての周期関数は、三角関数の級数和としてあらわせるそうですが、その理論的な根拠はなんなのでしょうか？

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

（Jordan の判定条件）

どういう関数が三角級数で表されるかは、古くから研究されてきた問題です。比較的よく知られたものに、Jordan の判定条件というものがあります。これを使うと、次のことがいえます。

f(x) を周期が T の周期関数として、
　　(1)　0からTまで積分可能であること
　　(2)　連続であること
　　(3)　有界変動であること
を満たすなら、f(x) は三角級数で表すことができる。

「積分可能」「連続」「有界変動」の意味は、どこか参考書で調べてみてください。

（ほとんど至る所）

実は、フーリエ解析の分野では、２つの関数が厳密に一致するかどうかは、あまり重視されません。それよりは、「ほとんど至る所」等しいかどうかが重視されます。たとえば、

　　f(x) = sin(x)
　　g(x) = 1 （x = 2nπのとき。ただし、n は任意の整数）
　　g(x) = sin(x) （上記以外）

とするとき、f(x) と g(x) は、厳密には違う関数です。しかし、ところどころ違っているだけなので、かなり似ているといえます。こういう場合、 f(x) と g(x) は、ほとんど至る所等しい、といいます。「ほとんど至る所」の厳密な意味は、参考書で調べてみてください。

（Carlson-Huntの定理）

ほとんど至る所等しい関数を同一視する立場に立つなら、次のすっきりした定理が使えます。

　　f(x) を周期が T の周期関数とする。さらに、p を1 より大きい実数として、|f(x)|^p が 0 から T まで積分可能とする。すると、f(x) は、ほとんど至る所三角級数で表すことができる。

　ちなみに、三角級数（フーリエ級数）の研究は古く18世紀にさかのぼることができますが、この定理が証明されたのは、20世紀後半のことです。1966年にCarlsonが p=2 の場合を証明し、1968年にHuntが一般の p の場合を証明しました。

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回答No.2

noname#221368

#1さんの仰るように、連続関数の周期関数で考えるのが安全です。でも実用的には、これでもちょっと範囲が広すぎて、一様連続の範囲で考えるのが、わかりやすいと思います。以下は、その前提です。

＞すべての周期関数は、三角関数の級数和としてあらわせるそうですが、その理論的な根拠はなんなのでしょうか？

　それがフーリエ級数論です。

　フーリエ級数により、最小2乗の意味で関数を最良近似して行くと、cos(nx)やsin(nx)の振幅an，bnが、n→∞で0に収束する事を証明できます。

　これとは別にフーリエ級数自体が収束する事も示さねばなりませんが、それにはパーゼブルの不等式が利用されてたはずです。

　関数空間などと難しい事をいわない限り、初等的には基本は、テーラー級数の証明と同じです。

　テーラー級数と同じ事を三角関数で出来ると感じた、フーリエさんは確かにすごいんですが、証明しようとすれば上記のようになります(^^；)。

お礼

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回答No.1

stomachman

> すべての周期関数が、三角関数の級数和としてあらわせる

　いや、そういう訳ではないんです。たとえば
　　f(x) = (xが整数のとき1, さもなくば0)
という関数は、三角関数の級数g(x)としては表せず、頑張って近似してもg(x)=0にしかならない。あるいは
　　f(x) = x-floor(x)　(floor(x)はxを越えない最大の整数)
という関数は、xが整数のとき0ですが、三角関数の級数g(x)としては表せず、頑張って近似してもxが整数のときにg(x)=1/2になっちゃう。
　これらの例では、fとgの違いはxが整数になる点における値だけであり、他のあらゆる点ではf=gです。

　「フーリエ解析」という理論において、どういう関数なら三角関数の級数で表せるか、ということが調べられています。逆に、三角関数の級数が普通の意味では発散してしまうとき、その級数は普通の関数ではないモノを表すわけで、こちらは「超関数論」の守備範囲です。

お礼

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