自己相関関数

質問

生物系の学生です。今、時系列解析をかじっておりまして自己相関関数に手を焼いています。
(1)自己相関関数でノイズが除去できるのは何故ですか？この変換後の関数がノイズ除去後の姿と言い切れる根拠は何ですか？
(2)式の形から、フーリエ係数の求め方に似ているので関数の直交性を利用してもとめた関数だと思うのですが、背景にはどのようなモデルがあるのですか？例えば、フーリエ級数では周期関数は三角関数の和で示せ、三角関数は互いに独立だから内積とれば、知りたい周波数の寄与（係数）が求められるという考え方がありましたが。

回答No.1

hatman34 · ベストアンサー

えーと、自己相関関数の横軸（独立変数）は周波数ではなく（もとの関数と同じ）時間です。従って、フーリエ級数展開（周期関数に対する）や、フーリエ変換（非周期関数に対する）と、自己相関関数とは違います。

おそらく自己相関関数をフーリエ変換してできるパワースペクトル密度関数のことを言われてるんだと思います。
http://www.neurosci.aist.go.jp/~kurita/lecture/statimage/node5.html

前提に不確かなところがありますが、簡単に回答すると下記のようになります。

（１）たとえば、100人が一斉にさいころを投げて出た目の統計をとる場合と、一人が100回連続してさいころを投げた場合の統計は結構一致しますがある程度の差は出てきます。これを1000回、10000回と増やしていくと、限りなく差は縮まります。

同様に、体温のように24時間の周期性をもつ時間関数を長期間観測するとそのような周波数成分が出てくるということです。そういう意味では統計学でいう「大数の法則」と同じです。

（２）これは、自己相関関数に関する疑問というより「フーリエ級数展開とフーリエ変換の違いは？」という疑問のような気がします。
まずは、
http://mars.elcom.nitech.ac.jp/java-cai/signal/mokuzi.html
あたりを見てみてください。

お礼

ありがとうございます。
横軸をしっかりみていなかったのは迂闊でした。

フーリエ解析も学べて助かりました。
時系列解析って簡単な入門書がなくて大変ですよね。
本当に助かりました。