数学で質問です

質問

ΩをR^nの有界開集合とします。
L= ｛u(t)∈L^2 (Ω) :∫Ω u(t)dt=0｝
はL ^2(Ω)の閉部分空間となります。
ここで、Lへの射影Plが
Plu(t) = u(t) －(1 /|Ω|)∫Ω u(t)dt
とな る証明が分かりません。
どなたかお願いします。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

「4番について詳しく教えて」

次の A と B は、教科書に載っているはずなので確認すること。

A　　v∈L^2 (Ω)、w∈L^2 (Ω) なら、v+w∈L^2 (Ω) であって
　　　　∫Ω (v(t)+w(t))dt = ∫Ω v(t)dt + ∫Ω w(t)dt

B　　v∈L^2 (Ω) で、αが複素数なら、αv∈L^2 (Ω) であって
　　　　∫Ω αv(t)dt = α∫Ω v(t)dt

次の C は、積分の定義から明らか

C　　|Ω|< ∞なら、1∈L^2 (Ω) であって
　　　　∫Ω 1dt = |Ω|

α = (1 /|Ω|)∫Ω u(s)ds、v(s) = 1 と置けば、B により、 (1 /|Ω|)∫Ω u(s)ds∈L^2 (Ω) であって、さらに B と C により

D　　∫Ω{(1 /|Ω|)∫Ω u(s)ds}dt = ∫Ωαdt = ∫Ωα・1dt = α∫Ω1dt = α|Ω| = ∫Ω u(s)ds

である（積分が2回出てきて紛らわしいので、一方の積分変数を s に変えた）。
さらに、A により、Plu(t) = u(t) －(1 /|Ω|)∫Ω u(t)dt = u(t) －(1 /|Ω|)∫Ω u(s)ds は L^2 (Ω) の元であって、

E　　∫ΩPlu(t)dt = ∫Ωu(t) －∫Ω{(1 /|Ω|)∫Ω u(s)ds}dt
　　　　　= ∫Ωu(t) － ∫Ωu(t)　　（D による）
　　　　　= 0

となる。

お礼

ありがとうございました。
解決しました！

回答No.5

alice_44

A No.2 の反省点：

あの手順だけでは、L (の中または上)への射影変換
であることしか言えてなかった。
「L への射影」と言えば、像が L であることを含む
表現だから、Pl が L の「上へ」の線型写像である
ことも示しておく必要がある。
L が直交射影であることを A No.3 の方法で示せば、
像の補空間が明らかになるから、直交性と同時に、
Pl が L の上への写像であることも従うのだった。

A No.1 は、簡潔ながら必要にして十分であったと。
脱帽。

回答No.3

ramayana

「(1)と(2)はどのように示したら良いのでしょうか？ 」

ANo.1 と ANo.2 で十分すぎるヒントになっていると思うけど、補足があったので、ANo.2のシナリオに沿ってもう少しだけ肉付けします。

0<|Ω| < ∞と仮定する。Lebesgue測度を考えているのなら、|Ω| < ∞は、Ωが有界なことから導かれる。以下αを任意の複素数とする。conj() で複素共役を表す。

１　L が部分空間であること

u と v が L の元のとき、u+v とαu のどちらもL の元であることを示す。

２　L が閉集合であること

u を L ^2(Ω) の元とし、u[1]、u[2]、・・・を L の元の無限列とする。u[1]、u[2]、・・・が L^2 ノルムで u に収束するとき、u が L の元であることを示す。

∫Ω( u[n]のL^2ノルムによる極限)(t)dt = ∫Ω u[n](t)dt の極限

であることに注意（|Ω| < ∞だから、積分と極限の順序はいつでも交換できる。どうしてだか分かりますか？）

３　Pl が線形写像であること

u と v が L ^2(Ω) の元のとき、Pl(u+v) = Pl(u)+Pl(v)、Pl(αu) = αPl(u) であることを示す。

４　Pl が L への写像であること

u が L ^2(Ω) の元のとき、Pl(u) が2乗可積分であること、および、∫Ω Pl(u)(t)dt=0 であることを示す。

|Ω| < ∞だから、定数 (1 /|Ω|)∫Ω u(t)dt が2乗可積分であることに注意。

５　Pl(u) と u-Pl(u) の内積が 0であること

Pl(u)conj(u-Pl(u)) の積分が 0 であることを示す。

補足

特に4番について詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.2

alice_44

直交射影であることも、容易に計算できるが…

「 L への射影」としか言ってないから、
・ L が L2(Ω) の線型部分空間であること。
・ Pl が L2(Ω) から L への線型写像であること。
だけ言っときゃ、十分じゃない？

直交性を言うなら、Pl(u) と u-Pl(u) の内積が 0
であることを、計算で示すだけ。

回答No.1

ramayana

|Ω| は、Ωの体積で、かつ、|Ω| > 0 を仮定するのでしょうか？もしそうなら、

Pl を Pl(u(t)) = u(t) －(1 /|Ω|)∫Ω u(t)dt で定義するとき、L ^2(Ω) の任意の元 u(t) に対して

(1) 　Pl(u(t)) が L の元であること
(2) 　Pl(u(t)) と u(t) - Pl(u(t)) が直交すること

の２点を言えば良いのでは。どっちも簡単そう。

補足

|Ω|は測度です。
(1)と(2)はどのように示したら良いのでしょうか？