数学 幾何

質問

「三角形ABCの∠BACの二等分線とBCとの交点をDとするとき、AB＋AD＝CD, AC＋AD＝BC であるという。∠ABCと∠ACBの大きさをそれぞれ求めよ。」

中学でもわかるように説明してください。お願いします。

回答No.2

muturajcp

α=∠BAC
β=∠ABC
θ=∠ACB
△ABCのαの二等分線とBCとの交点をD
|AB|+|AD|=|CD|
|AC|+|AD|=|BC|
とすると|BC|=|BD|+|CD|だから
|AC|+|AD|=|BC|=|BD|+|CD|
|AB|+|BD|=|AC|
ABのB側に|BD|だけ延長した点をEとすると
|BE|=|BD|
∠AED=∠BED=∠BDE
β=∠BED+∠BDE=2∠AED
|AE|=|AB|+|BE|=|AB|+|BD|=|AC|
α/2=∠EAD=∠BAD=∠CAD
だから
|AE|=|AC|
α/2=∠EAD=∠CAD
|AD|は共通で2辺挟角が等しいから
△ADE=合同=△ADC
だから
∠AED=θ
β=2∠AED=2θ
∴
β=2θ

β+θ+α=180°だから
∴
3θ+α=180°

sin(2θ+α/2)=cos(θ/2)
正弦定理から
|AB|=|AD|cos(θ/2)/sinβ
|CD|=|AD|sin(α/2)/sinθ

|AB|+|AD|=|CD|だから
|AD|cos(θ/2)/sinβ+|AD|=|AD|sin(α/2)/sinθ
cos(θ/2)+sinβ=sin(α/2)sinβ/sinθ
cos(θ/2)+sinβ=sin(α/2)sin(2θ)/sinθ
cos(θ/2)+sinβ=2sin(α/2)cosθ
cos(θ/2)+sinβ=sin(θ+α/2)+sin(α/2-θ)
cos(θ/2)+sinβ=cos(θ/2)+sin(α/2-θ)
sinβ=sin(α/2-θ)
sinβ-sin(α/2-θ)=0
sinβ+sin(θ-α/2)=0
2sin{9(θ-20°)/4}cos{(180°-θ)/4}=0
sin{9(θ-20°)/4}=0
∴
θ=20°
β=2θ=40°
α=180°-3θ=120°
∴
∠ABC=40°
∠ACB=20°

回答No.1

noname#190065

問題にミスプリがなければ、答えはありません。「三角形の２辺の和は他の１辺よりも長い」ので、BC<AB+AD=CDとなってしまいます。