数学IIの３次関数のグラフを求める計算の過程で…

質問

微積の範囲をやっているんですが、計算は出来てもその過程の部分が毎度分からずその部分だけ解答を見てしまいます。明日、先生に聞こうと思うんですが 今日も夜数学を重点的にやりたいので宜しければ教えてください。

私が分からないのは導関数を用いてf`(x)を求めた後の部分です。例題を上げますと

y=f(x)=-x^3 + 3x + 3 の増減を調べ、そのグラフの概形を書け。

ｘを微分してf`(x)=0の時、ｘ＝-1　1…になる部分までが分かる範囲です。その後、x軸のｘ＝-1と1の座標二点を通るグラフになる…と言うのは分かっているんですが、何故このグラフは「上に凸のグラフ」だと分かるのでしょうか。そして「x=-1を堺に負から正になり、x=1を堺に正から負に転ずる」というのも何故分かるのでしょうか。逆に-1と1を通る下向きの凸でｘ＝-1を堺に正から負になり、ｘ＝1を堺に負から正に転ずると見ても間違いは無いように見えます。

今はｘを求めて、極大と極小を求めてグラフに点を打てば大凡のグラフの形は把握出来ます。ですが、私が指摘した二点が分からずに居るのは虫の居所が悪いので宜しければご回答お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

1)何故このグラフは「上に凸のグラフ」だと分かるのでしょうか。

上に凸、下に凸は正しくはy''の符号で決まります。

y''=-6x

よってx<0で下に凸(y''>0),x>0で上に凸（y''<0)

2)x=-1を堺に負から正になり、x=1を堺に正から負に転ずる

主語が抜けています。正しくは

「y'は=-1を堺に負から正になり、x=1を堺に正から負に転ずる」です。y'の値から言って当然でしょう

こんな話は増減表に整理されるべき内容です。この手の問題では増減表を書くことが前提です。

増減表の無い答えは多分減点を食うでしょう。増減表を書く習慣を身に着けてください。

お礼

ご回答有難うございます。頭に入れてから改めて増減表を書こうとするとやはりあやふやな部分が分かりますね。もう一度参考書を読んで頭に入れなおそうと思います。

回答No.1

f272

y=f(x)=-x^3 + 3x + 3
で
y'=-3x^2 + 3
ですね。2次関数で2次の係数が負の時は「上に凸のグラフ」になると決まっています（正なら下に凸）。そして「上に凸のグラフ」であれば2実解のところで正負が入れ替わる状況は「x=-1を堺に負から正になり、x=1を堺に正から負に転ずる」以外にありえないでしょう。