導関数？（高2レベル）

質問

昨日に引き続いて失礼します・・・。

f(x) = x^3-3px+pについて、極大値が正、極小値が負となるpの値を求める。

解説よろしくお願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

kenta0102さん、こんにちは。

＞f(x) = x^3-3px+pについて、極大値が正、極小値が負となるpの値を求める。

まず、y=f(x)を、ｘで微分して、導関数f'(x)を求めましょう。

f'(x)=3x^2-3p
=3(x-√p)(x+√p)　　ただし、ｐ＞０
と、因数分解できるので、増減表を書いてみましょう。

x　・・・・・-√p　・・・・・・√p・・・・・・
-----------------------------------------------
f'(x)　　　　　0　　　　　　　　0
-----------------------------------------------
f(x)　　　　　＋　　　　　　　　－

と、このようになればいいのです。
さて、f(x)のｘに、極大、極小となるｘを代入してみると、
求めるｐの範囲が出てくると思います。

極小値f(√p)
f(√p)=p√p-3p√p+p
=p-2p√p
=p(1-2√p)
f(√p)<0であるためには、p>0であるから、1-2√p<0
したがって、p>1/4

極大値f(-√p)
f(-√p)=-p√p+3p√p+p
=p(1+2√p)
f(-√p)>0であるためには、p>0であるから、1+2√p>0
p>0より、これは常に成り立つ。

よって、求めるｐの範囲はp>1/4
となると思います。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.2

guowu-x

pの値を求めるとありますが、ｐの範囲を求めるのではないのですか？

回答No.1

oshiete_goo

f'(x)を求めると
p≦０のとき　f(x)は単調増加で極値をもたない．
p＞０のとき　増減表を書いて　極大値f(-√p),　極小値f(√p)となるので
f(-√p)＞０　かつ　f(√p)＜０　を整理．

p＞０　かつ　f(-√p)・f(√p)＜０　の方がラクかも．