度々基礎的な問題の質問ですみません

質問

度々基礎的な問題の質問ですみません
a↑+b↑においてa↑+2b↑とa↑-2b↑が垂直で|a↑+2b↑|=2|b↑|とする。
このときa↑とb↑のなす角θを求めよ
という問題なのですが、角度と内積を絡めようとして計算しても無限に不毛な計算だけをするような状況に陥ってしまったので、解法をご教授いただけるとありがたいです

回答No.2

Kules · ベストアンサー

とりあえず、「書かれている条件から立てられる式を考える」ところから始めたらいいんじゃないですかね。
a↑+2b↑とa↑-2b↑が垂直と言われたら、a↑+2b↑とa↑-2b↑の内積が0ですよね？じゃあまずその式を立てましょう。
|a↑+2b↑|=2|b↑|と言われたら、このままだと扱いにくい（ベクトルの絶対値を数式的に扱う方法はあまりない）のでとりあえず両辺二乗してみましょう（これが必要かどうかはとりあえずおいといて）
で、
a↑とb↑のなす角θ
について、
a↑とb↑とθを絡めた式が何かないかな、と思ったら、内積の式がありますよ、と。
a↑・b↑=|a↑||b↑|cosθ
cosθがわかればθはわかりますから、要はこの式の中のa↑・b↑と|a↑||b↑|がいくらかわかれば解けますね。
ただ、もうちょっと考えを進めてみると、a↑・b↑や|a↑||b↑|の値が直接わかる必要はなくて、この2つの比がわかれば
cosθは求まるはずですね。
（cosθ=(a↑・b↑)/(|a↑||b↑|)なので）

てことは、先に立てた2つの式をごにょごにょやって、とにかく(a↑・b↑)/(|a↑||b↑|)=○○
って形のものが出来ればいいことになります。

上に書いたことははっきり言ってアブナイ（いろいろな式変形が、ちゃんと出来るかどうかを前提に書いていない）ので
そのまま解答に書くことはできませんし、もっと賢い人ならもっと最短距離で行くでしょう。
でも、最初の思考回路はこんなもんでいいんじゃないかと思います。
（～って言われているから、～って式が成り立つな。求めたいものは～だから、要は～が求まればいいのか。最初に立てた式をごにょごにょやってたら…おお、出た！）みたいな。

参考になれば幸いです。

お礼

詳しくありがとうございました！

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

a, b はベクトルとすると

(a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2=0 → |a| = 2|b|

|a+2b|=2|b| → |a+2b|^2=2|b|^2 → a^2 + 4ab + 4b^2 = 4b^2 → 4ab = -a^2

4ab = 4|a||b|cosθ = -a^2 = -2|a||b| だから

cosθ=-1/2
θ=120度, 240度

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

k14i12d

扱う文字は全てベクトルとする。
条件より、|a|^2=4|b|^2 ←[1]
また、(与式)⇒|a|^2+4a・b+4|b|^2=4|b|^2
⇔a・b=-|b|^2
⇔|a||b|cosθ=|b|^2 ←[2]
|a|≠0,|b|≠0として、
[1][2]より、cosθ=|b|/|a|=±1/2
よってθ=60°,120°。

お礼

ありがとうございました！