ベクトルの問題について

質問

ベクトルの問題といてて疑問に思いましたので質問します。

＞2つのベクトルa↑=(t+2,(t^2)-k) , b↑=(t^2,-t-1)が、どのようなtの実数値に対しても垂直にならない実数kの値の範囲を求めよ。
という問題です。
答えは0<k<4です。

ですがk=4のときについて考えてみると、

　（１）k=4かつt=-2のとき、a↑=(0,0),ｂ↑=(4,1)よって垂直でない。
　（２）k=4かつt≠-2のとき、内積＝(t+2)^2≠0（∵t≠-2）よって垂直でない。
以上よりk=4のときどのようなtの実数値に対しても垂直にならない。

となり、k=4も答えの範囲に含まれていても良いと思ったのですが、どこが間違ってるでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

図を描いて、分度器で測る…とか、
余弦定理から成す角を求める…とか
の方法では、
零ベクトルと、他のベクトルが垂直か否か
を、判定することはできません。

零ベクトルと、他のベクトルが垂直か否か
は、「垂直」の定義の一部として、
あらかじめ決めておく必要があります。

ベクトル a と b が垂直 ⇔ a と b の内積が 0
と定義するのが常識的で、その場合、
零ベクトルは任意のベクトルと垂直ですが、

高校の教程だと、図示との対応を重視して、
a, b が 0 でないときにしか、「垂直」も「垂直でない」も
定義していない場合があるので、注意が必要です。
例 → http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/vector_para_ortho.html
こっちの定義だと、質問の問題は、
問題の意味が定まっていないことになる。

補足

確かに0ベクトルについて、垂直は定義されてないみたいです。

ということはこの問題は、垂直⇔内積0が前提だったということなんでしょうかね。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

CC-Cue

ゼロベクトルは任意のベクトルに対して内積＝０
なので、
「ゼロベクトルは任意のベクトルに対して垂直」
ならば k=4 は答えの範囲に含まれないことになります。

ゼロベクトルはどういう扱いで習いましたでしょうか？

補足

この問題集（チャート式というものです）の基礎事項のまとめページには、
a↑≠0↑、b↑≠0↑の条件がついていない場合は内積=0から直ちに垂直としてはいけない。
といったことが書かれているので、「ゼロベクトルは任意のベクトルに対して垂直」ではないということだと思います。
直接的にそのことが書かれている箇所は見当たりませんでした。

回答No.1

naniwacchi

問題文(成分の値)か、答えに間違いはありませんか？
計算してみたのですが、答えも違っていましたので。
念のため、確認してみて下さい。

補足

確認してみましたが、問題文、答え共に間違いはなかったです。