数IIIです！

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回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(1)
P=(AB-OA+OB) (AB+OA-OB)=AB^2-(OA-OB)^2
AB^2=a^2+b^2-2abcosθ(余弦定理)
P= a^2+b^2-2abcosθ-(a-b)^2=2ab(1-cosθ)
問題＝lim(θ→0)P/θ^2= 2ablim(θ→0)(1-cosθ)/θ^2　　(ロピタル)
=2ablim(θ→0)(sinθ)/(2θ)=ab

(2)
(1)よりAB=c=√(a^2+b^2-2abcosθ)),
∠OAB＝φとおくと
正弦定理より
b/sinφ=c/sinθ
sinφ=(b/c)sinθ=(b sinθ/ √(a^2+b^2-2abcosθ))
φ=sin^(-1) (b sinθ/ √(a^2+b^2-2abcosθ))
(sin^(-1)xはsinxの逆関数）
問題＝lim(θ→0)( φ/θ)= lim(θ→0)[ sin^(-1) (b sinθ/ √(a^2+b^2-2abcosθ))/θ]
ロピタルによって分子、分母を微分して行けば解に至ります。逆三角関数なので計算は大変です。ここではテーラー展開を使います。
p= bsinθとおくとθ=sin^(-1)(p/b)
問題＝lim(θ→0)( φ/θ)= lim(θ→0)[ sin^(-1) (p/ √(a^2+b^2-2abcosθ))/ sin^(-1)(p/b)]
lim(θ→0)c= lim(θ→0) √(a^2+b^2-2abcosθ)=a-b
lim(θ→0)( φ/θ)=lim(θ→0)[sin^(-1)(p/(a-b)/sin^(-1)(p/b)]
sin^(-1)xはxが小さいときxそのもの,
つまり
問題＝lim(θ→0)[ sin^(-1)(p/(a-b)/sin^(-1)(p/b)]= lim(θ→0)[(p/(a-b)/(p/b)]=b/(a-b)

回答No.1

naniwacchi

(1)は分子をうまく展開して余弦定理

(2)はミスプリントではないですか？
ありがちなパターンで言えば、sin∠OAB/θかと。