数IIIですよっ

質問

真夜中にどうもこんばんわ
毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして…
考えていたらこんな時間になってしまいましたっ

ですので、回答解説お願いします…！

数列{an}は0＜a[1]＜3,a[n+1]=1+√(1+an)を満たすものとする。

(1)0＜a[n]＜3を証明せよ。
(2)3-a[n+1]＜1/3(3-a[n])を証明せよ。
(3)数列{an}の極限値を求めよ。

ヒントがだされていて、(1)は数学的帰納法を用いて、(3)の答えは3ということです。

このままだと寝れません…。トホホ

お願いします！

回答No.1

ONEONE

略解にも満たないですが、適宜行間を補ってください。

(1)
n=1のときは条件から成り立っている。
n=kのとき成り立つと仮定して、
0<1+√(1+a[n])<1+√4 = 3
となるので、n=k+1でも成り立つ。

(2)
3 - a[n+1] = 2 - √(1+a[n]) = (3 - a[n]) /( 2 + √(1+a[n]) )<(1/3)(3 - a[n])

(3)
(2)を繰り返して得られる不等式よりa[n]をa[1]で評価することができて3 - a[n]→0となります。