複素数の相等 について質問させていただきます．

質問

複素数の相等　について質問させていただきます．

教科書には，
a,b,c,dが実数のとき，

a+bi=c+di ⇔　a=c かつ b=d

が成り立つ，と書いてあります．

これはつまり，a+bi=c+di が成り立つのは　a=c かつ b=dのときに限られる，ということでＯＫですよね？

また，「a,b,c,dが実数のとき」という条件があるのは，a,b,c,dのいずれかが虚数でも良いとすれば，a+bi=c+di ⇔　a=c かつ b=d　，が成立しなくなるからですよね？

例えば，a=0, b=i, c=-1, d=0, つまり，a≠cかつb≠dのとき，a+bi=c+di(=-1)となり，a+bi=c+di　が成り立つための十分条件が新たに見つかった，ということになってしまう，ということです．

自分でも何を言っているのか混乱している状態ですので，どうか分かりやすい解説をお願いいたします．

回答No.1

Grandmaster · ベストアンサー

こんばんは。

複素数については、複素平面（ガウス平面）を考えればわけありません。
新課程で複素平面の考え方はなくなりましたが、難しくありません。

複素平面は、普通のｘｙ平面（デカルト平面）と同じように考えて
デカルト平面のｘ軸が実軸つまり実数の軸、ｙ軸が虚軸つまり虚数の軸
に変わった平面です。

デカルト平面では座標を考えましたよね。
それと同じように複素平面でも座標を考えます。

例えばデカルト平面でいう（3,2）という点が複素平面でいう3+2iという足し算で点として表されます。

本題ですが、複素数の相当というのは複素平面の点での相当ということと同じです。
当たり前ですが、同じ点は2つとありません。だから、そんな条件がつきます。

さらになぜa+biのa,bは実数でなくてはいけないかということですが、
コレも当たり前で、複素平面は平面で表されているからです。
つまり、1+iの実数倍で全ての点は表されるという、ベクトルの考えでもあるからです。

ちょっと難しく説明してしまいましたが、こちらのＵＲＬを参考していただければ
直感的にも数学的にも理解できると思います。（なかなか良いＵＲＬがありませんでしたが…）

ぜひ複素数同士の計算などもいちいち複素平面で考えてみてください。

参考URL：

http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/im11.htm

お礼

どうもありがとうございます．返事が遅れて申し訳ありません・・・．

複素数平面で考える方法もあるんですね．

回答No.2

noname#113983

最初の説明は間違っていない。ただ
>>「a,b,c,dが実数のとき」という条件があるのは，a,b,c,dのいずれかが虚数でも良いとすれば，a+bi=c+di ⇔　a=c かつ b=d　，が成立しなくなるからですよね？
これちょっと誤解がある。

「a,b,c,dが実数のとき」という条件がある理由については
任意の複素数zに対して、z=e＋fi(ただしe,fは実数)で表される。
したがってz=a＋biとしてa=iなどとしてもまた新たに、z=k＋si(k,sは実数)という形で
表されるから簡単にするため「a,b,c,dが実数のとき」という条件があるんじゃないのか？

お礼

ありがとうございます．返事のコメントが遅れて申し訳ありません．

>>簡単にするため「a,b,c,dが実数のとき」という条件があるんじゃないのか？

よく理解できませんが，もう一度自分で考えてみます．