円筒をロープで締めた時の力と円筒に働く外圧

質問

材料力学の応力解析で次のケースで力の関係がどうなるか悩んでいます。
どなたか、詳しい方、ご教示をお願い致します。
ドラム缶等の円筒をロープやワイヤーで円周方向を締め上げるとします。その際の締める力（ニュートン）と円筒に働く外力（外圧）との関係は理論的にどうなるのでしょうか？

回答No.3

okormazd

t:円筒の肉厚
D:円筒の外径
L:円筒の長さ
P:円筒の外圧
σ:円筒の周方向に働く外圧による圧縮応力
T:ロープの張力
d:ロープと円筒の接触幅

D>>tとします。

1.
円筒の肉厚断面に働く力Fは、円筒断面積に垂直な方向の圧力成分とそれが働く表面積との積の和で、結局、円筒断面積と圧力の積になるから、

F=DLP

これを肉厚部断面2tL(tLが2面ある)で受けるから、応力は、

σ=DLP/(2tL)=DP/(2t)

で、圧力は、

P=2tσ/D・・・・(1)

2.
張力Tで締めるということは、円筒のロープのかかっている肉厚断面にTの力が働いていることです。この断面積は、tdだから、応力σ は、

σ=T/(td)・・・・(2)

3.

(2)を(1)に入れれば、

P=2t・T/(td)/D=2T/(Dd)

ということではないか。

たぶん、#2さんと結果は同じと思う。

dがわからないので、ロープ径の半分、半径とでもするか。

お礼

非常に分かり易い表現で助かりました。有難うございました。＃２さんの方法と比較して検証してみます。

回答No.2

rnakamra

ドラム缶とロープの間に摩擦力が働かないと仮定します。
この仮定のもとではロープが動かない状態ではロープの張力はどこをとっても同じ大きさになります。

ロープの幅をt,ドラムの半径をrとします。角度の単位は弧度法(ラジアン)を使うものとします。

ドラムに巻きついているロープの一部分をとりだして働いている力を考えてみましょう。
その部分は円弧となりますが、この弧の中心角をθとしましょう。
この部分のロープには次の3通りの力が働いています。
1.一方の端に働く張力T1
2.もう一方の端に働く張力T2
3,ドラムから受ける垂直抗力N

1と2の力の大きさは両端を引く力Fの大きさに等しく、π-θだけ角度が異なります。
この二つの力の合力Tの大きさは
T=F*2*cos{(π-θ)/2}=2F*sin(θ/2)
で向きは中心を向きます。

3.はθが十分に小さいとするとドラムがロープから受ける圧力Pを使い
N=P*t*rθ
となります。(t*rθ：対象としているロープの接触している面積)

1～3の力の大きさは釣り合っているため
T=N
2F*sin(θ/2)=P*t*rθ
P=2F*sin(θ/2)/(trθ)
となります。これをθ→0とした極限をとればよいでしょう。

お礼

力をベクトルとして考えており、非常に理論的で助かりました。有難うございます。実際の物に当てはめて、別途行っている有限要素法での解析結果と比較してみます。

回答No.1

ORUKA1951

小学校のときのテコや滑車の学習で簡単に、中学校で詳しく学んだはずです。
力×移動距離は一定ですから、滑車にしろテコにしろ２倍動かすのなら力は半分・・
ロープをしめるとき、半径が⊿r小さく(大きく)なれば円周は２π⊿r短く(長く)なります。
⊿Ｌ = 2π(r + ⊿r)-2πr = 2π⊿r
摩擦が一切無いとして、(⊿L/2π)F の力となりますよ。

　滑車を使おうが歯車を使おうが梃子やカムを使おうが、移動距離と力の積は一定・・・と言うことだけ理解できていれば・・・・。

お礼

有難うございます。参考になりました。