数学III:定積分と不等式について

質問

定積分と不等式について、

　[a,b]　で、　g(x)≦f(x)　ならば、　∫[a,b]g(x)dx≦∫[a,b]f(x)dx　である

ということを用いて解く類の問題についての質問です。

教科書の問題程度ならなんとかなるのですが、参考書の問題になると解けません。具体的には、以下のURL([参考]の項)の問題で、(*)を立式出来ないのです。
いつもは ∫[0,1/2]f(x)dx=2^(-n)/(n+1) となる関数 f(x) を直感で見つけて解こうとするのですが、今回見つけた関数が nx^(n-1)/(n+1) であったために x^n/(1-x)≦nx^(n-1)/(n+1) は成り立たず……。

思うに、この問題を解く人は (1) (*) に気付く (2) 其れを証明する (3) 積分する という思考のプロセスを辿っているのだと思うのですが、 (*) にどうやって気づいたのか、其のプロセス、言うなれば上の (1) の前にあたる (0) のプロセスが分からないのです。言葉足らずな所もあるかもしれませんが、宜しくお願いします。

[参考] http://p.tl/Jiwm

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

不等式を作って値を評価する計算は、職人芸の見せ所。
こうやればいい という決まった手順がある訳ではない。
でも、今回の問題は、式を見れば
やらせたいことが露骨ですよね。

∫[0→1/2]{(x^n)/(1-x)}dx ≦ (2^-n)/(n+1)
とくれば、∫(x^n)dx = {x^(n+1)}/(n+1) を連想して、
右辺は 2{(1/2)^(n+1)}/(n+1) の意図なんだろうと感じる。

「連想」にも「感じる」にも、論理的な根拠はありません。←ここが回答

∫[0→1/2]{(x^n)/(1-x)}dx ≦ ∫[0→1/2]{2(x^n)}dx
を示せば十分 なんだけど、そう上手くいくかな？
と考えてみると、嬉しいことに、
0 ≦ x ≦ 1/2 では 1/(1-x) ≦ 2 が成り立っている。
よって、(x^n)/(1-x) ≦ 2(x^n) を積分して…

で、上記を、もっともらしく、推論が成立する順番というか
思いついたのとは逆順で書いていけば、リンク先の「解答」
のようなものになる と。

お礼

>不等式を作って値を評価する計算は、職人芸の見せ所。

>「連想」にも「感じる」にも、論理的な根拠はありません。

成程、まあ、だからこそ差がつく問題になり得るのでしょうね……。一応学校の数学教師にも訊いてみたのですが、似たようなことを仰っていました。
とりあえず今後は問題を解いて、数学的センスを養うと共に、経験である程度カバー出来るようにしていこうと思います。

回答ありがとうございました。