数III 定積分教えてください

質問

（１）∫（０～１）　ｄｘ/（e^x +2）
（２）∫（０～１）　ｘ３＾ｘ　ｄｘ
（３）∫（０～π /２）　ｘsinx^3 dx
（４）∫（０～１）　log{√(x^2+1)-x}dx
（５）∫（１～e）　｛logx/√ｘ｝ｄｘ
（６）∫（０～１）　[e^x/{e^x + e^(-x)}] dx
（７）∫（０～π ）　e^x * sinx * cosx dx
（８）∫（π ～ーπ ）　x * cosx^3 dx

どの方法を使い、どのように式変形をするのかを教えて下さい。（積分範囲を代入する手前の式変形）
詳しい解説だとありがたいです。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ANo.1，No.2です。

＞（４）のｇ＝log{√(x^2+1)-x}，
＞ｇ'＝{√(x^2+1)-x}'／{√(x^2+1)-x}＝－１／√(x^2+1)の変形が分かりません。
分子＝{√(x^2+1)-x}'＝｛（ｘ^2＋１）^(1/2)－ｘ｝'
＝(1/2)（ｘ^2＋１）^(-1/2)・（２ｘ）－１
＝｛ｘ／（ｘ^2＋１）^(1/2)｝－１
＝｛ｘ－（ｘ^2＋１）^(1/2)｝／（ｘ^2＋１）^(1/2)
＝｛ｘ－√(x^2+1)｝／√(x^2+1)
＝－｛√(x^2+1)－ｘ｝／√(x^2+1)

ｇ'＝［－｛√(x^2+1)－ｘ｝／√(x^2+1)］×｛１／{√(x^2+1)-x}｝
＝－｛√(x^2+1)－ｘ｝／√(x^2+1)×{√(x^2+1)-x}
＝－１／√(x^2+1)
です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

info22_

質問番号：7391305　で回答しベストアンサーをいただいた者です。
http://okwave.jp/qa/q7391305.html
（補足の質問なしでした）

質問した問題も再投稿なら、過去の質問を引用して質問して下さい。
過去の回答に対して、また問題を丸投げしないで、質問者さんが取り組んでやったこと、そして行き詰まっているところを書いて質問しましょう。

回答No.2

ferien

ANo.1です。

＞（２）の∫（０～１）３^x／log３ｄｘの後の変形を詳しく教えてください。
＝（１／log３）∫（０～１）３^xｄｘ
＝（１／log３）［３^x／（log３）］［０～１］
＝（１／log３）^2（３－１）
＝２／（log３）^2

∫３^xｄｘの積分は、３^x＝ｅ^x(log3）（考えてみて下さい）なので、
＝∫ｅ^x(log3）ｄｘ
＝（１／log３）ｅ^x(log3）＋Ｃ
＝３^x／log３＋Ｃ
です。

補足

何度もすいません。
（４）のｇ＝log{√(x^2+1)-x}，
ｇ'＝{√(x^2+1)-x}'／{√(x^2+1)-x}＝－１／√(x^2+1)の変形が分かりません。
詳しく教えてください。

回答No.1

ferien

＞（１）∫（０～１）　ｄｘ/（e^x +2）
置換積分ｔ＝ｅ^x＋２とおくと、ｅ＾ｘｄｘ＝ｄｔ
ｅ^x＝ｔ－２より、ｄｘ＝（１／ｔ－２）ｄｔ
＝∫（３～ｅ＋２）ｄｔ／｛ｔ（ｔ－２）｝あとは部分分数に分ける。

＞（２）∫（０～１）　ｘ３＾ｘ　ｄｘ
部分積分　ｆ'＝３^x，ｆ＝３^x／log３，ｇ＝ｘ，ｇ'＝１
＝［ｘ３^x／log３］［０～１］－∫（０～１）３^x／log３ｄｘ

＞（３）∫（０～π /２）　ｘsinx^3 dx
公式sin^3ｘ＝(1/4)（３sinｘ－sin３ｘ）より、
＝(3/4)∫（０～π /２）ｘsinｘｄｘ－(1/4)∫（０～π /２）ｘsin３ｘｄｘ
f'＝sinｘ，ｇ＝ｘのようにおいて、
あとはそれぞれ部分積分すればいいです。

＞（４）∫（０～１）　log{√(x^2+1)-x}dx
部分積分
ｆ'＝１，ｆ＝ｘ，ｇ＝log{√(x^2+1)-x}，
ｇ'＝{√(x^2+1)-x}'／{√(x^2+1)-x}＝－１／√(x^2+1)
＝［ｘlog{√(x^2+1)-x}］［０～１］＋∫（０～１）ｘ／√(x^2+1)ｄｘ
２項めの積分は、ｔ＝√(x^2+1)とおいて置換積分、

＞（５）∫（１～e）　｛logx/√ｘ｝ｄｘ
部分積分
ｆ'＝１／√ｘ，ｆ＝２√ｘ，ｇ＝logx，ｇ'＝１／ｘ
＝［２√ｘlogx］［１～e］－∫（１～e）２√ｘ／ｘｄｘ

＞（６）∫（０～１）　[e^x/{e^x + e^(-x)}] dx
置換積分ｔ＝ｅ^xとおくと、ｅ^(-x)＝ｔ(-1)，ｅ^xｄｘ＝ｄｔ
＝∫（１～ｅ）ｔ／（t^2＋１）ｄｔ

＞（７）∫（０～π ）　e^x * sinx * cosx dx
sinｘcosｘ＝(1/2)sin２ｘだから、
＝(1/2)∫（０～π ）ｅ^xsin２ｘｄｘ
ｆ'＝ｅ^x，ｇ＝sin２ｘのようにおいて
部分積分を２回おこなうと、右辺に－２∫（０～π ）ｅ^xsin２ｘｄｘが出てくるから、
左辺に移項して、
（2+1/2）∫（０～π ）ｅ^xsin２ｘｄｘ＝１－ｅ^π
最後にsin２ｘ＝２sinｘcosｘに戻します。

＞（８）∫（－π ～π ）　x * cosx^3 dx
公式cos^3ｘ＝(1/4)（３cosｘ＋cos３ｘ）より、
＝(3/4)∫（－π ～π ）ｘcosｘｄｘ＋(1/4)∫（－π ～π ）ｘcos３ｘｄｘ
後はそれぞれ部分積分

このように解いてみました。（他にもっといい方法があるかもしれませんが。）
問題が多すぎるので、半分ずつぐらいに分けて提示すればいいと思います。

補足

（２）の∫（０～１）３^x／log３ｄｘの後の変形を詳しく教えてください。