絶対値記号を含む関数の定積分について・・

質問

「次の定積分の値を求めよ
　　　　3
（1）I=∫x｜x-2｜dx
　　　　0

　　　　　2
（2）J=∫｜x(x-1)｜dx
　　 　　-1 　　　　　　　　　 」
の問題の解説で
「次のような計算をしてはならない。
　　　　　　　　　　　　　　　3
I=[x^2/2｜x＾2/2-2x｜]
　　　　　　　　　　　　　　　0 ,

　　　　　　　　　　　　　　2
J=[｜x^3/3-x^2/ 2｜]
　　　　　　　　　　　　　　-1
一般に、f(x)の不定積分の1つをF(x)とするとき
　b
∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　　　
である。」とあったのですがなぜこのようにしてはいけないのかいまいちわかりません・・　お願いします。教えてください！！

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

＃2以降です。

｜F(b)｜-｜F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで),｜F(b)-F(a)｜=|[F(x)](aからbまで)|
という等式は一応、成り立っています。(正確には、成り立たせた、かな?)しかし、こういう計算方法を取る事が無いので、成り立っているか成り立っていないかという以前の問題です。
∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜
が成り立つのでこういう計算方法は間違いだということです。
間違いを覚えるのも必要ですが、間違いを覚えるよりは解き方を覚える方がいい。

ちなみに
前に奇関数・偶関数の話をして、xの奇数乗は奇関数だと話しましたが、
奇関数に絶対値をつけると偶関数になります。
偶関数・奇関数とは何だったか、定義はどんなのだったか、を考えれば容易に分かるでしょう。

お礼

ありがとうございました！！！何度にもわたって変なところまで説明させてしまって・・申し訳ないです・・。
これからもどうかこりづに協力していただきたい・・です！！！

回答No.5

eatern27

#2～#4です。
>|[F(x)](aからbまで)|=|F(b)-F(a)|
これは
[F(x)](aからbまで)=F(b)-F(a)
の両辺に絶対値をつけただけです。範囲を省略すると
|[F(x)]|=|F(b)-F(a)| です。

これはこういう計算をしてはダメという例です。それを覚えるのなら、どう計算をするのかを覚えた方がいいです。式が何を意味しているのかを理解するのは大事ですが、間違っても、覚えてはいけません。(数学の教師を目指しているのなら別です)

∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜　
の右辺が何処から出てきたかというと[F(x)]に絶対値をつけるとしたら[ ]の外か内かのどちらかになると思います。[|F(x)|]=｜F(b)｜-｜F(a)｜が内に、|[F(x)]|=｜F(b)-F(a)｜が外に絶対値をつけた場合です。

｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで)あるいは|[F(x)](aからbまで)|

の部分は忘れて下さい。これは雑談みたいなものです。これを覚えるのなら、絶対値を積分方法を覚えて下さい。そっちの方がずっと役に立ちます。

補足

わかりました！！つまり、∫｜f(x)｜dx (定積分の区間は下端a,上端b)のことを｜F(b)｜-｜F(a)｜　（=[｜F(x)｜](aからbまで)）もしくは、｜F(b)-F(a)｜　（=|[F(x)](aからbまで)|）としてしまうのはと考えるのは間違いということですよね？
でも｜F(b)｜-｜F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで),｜F(b)-F(a)｜=|[F(x)](aからbまで)|の2つの等式は成り立ってはいるんですよね？？　　　　ということですよ・・ね？？

回答No.4

eatern27

#2+＃3です。
＞｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで)あるいは|[F(x)](aからbまで)|
｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜
これを無理矢理、解釈すればという意味です。無理矢理解釈したものですので、理解する必要はありません。

参考までに
∫f(x)dx(aからbまで)=[F(x)](aからbまで)=F(b)-F(a)
というのは分かりますよね？それと同じ事です。
[|F(x)|]はF(x)を｜F(x)｜にしたもの、|[F(x)]|は[F(x)]に絶対値をつけたものです。
[|F(x)|](aからbまで)=|F(b)|-|F(a)|
|[F(x)](aからbまで)|=|F(b)-F(a)|
というつもりで書きました。 ∫|f(x)|dxを絶対値をつけたまま計算した人がやってしまう可能性のある計算方法の例です。

こういう計算は実際にはしないので覚える必要は全くありません。というか、混乱してしまうかもしれないので、覚えないで下さい。

絶対値をつけたままでは積分は出来ないから、絶対値の中見が正の時と負の時に分けて計算するという事を覚えてくれればいいのです。

補足

>|[F(x)](aからbまで)|=|F(b)-F(a)|
ここがわからないです・・・基本的なとこから分かってないので・・ごめんなさい・・何度も何度も・・

回答No.3

eatern27

＃2です。
＞F(x)=-1/2を微分すると0になり｜F(x)｜の微分とは0
＃1さんの説明では｜F(-1/2)｜を微分しています。
F(x)=xですから、x>0の時は｜F(x)｜=xとなり、x<0の時は｜F(x)｜=-xとなります。
だから、x>0の時{｜F(x)|}'=1となり、x<0の時{｜F(x)|}'=-1となります。この場合はx=-1/2<0の場合だから、｜F(x)｜をxで微分すると-1になります。
分からなければグラフを書いてみましょう。微分した値は接線の傾きだから、x=-1/2のとき、0にならない事がわかると思います。

＞どういう関係があるんでしょうか？
積分の範囲は一部省略して説明します。
∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜　　　　　　　　　　これがどういう事を意味しているか分かりますか？
絶対値が付いていたら積分ができないという事です。
｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで)あるいは|[F(x)](aからbまで)|
と考えられ、絶対値が付いたまま積分しようとしたときに考えられる解き方を表していると思います。
I=[x^2/2｜x＾2/2-2x｜] やJ=[｜x^3/3-x^2/ 2｜] は絶対値をつけたまま積分しています。絶対値をつけたまま解いてはいけないという説明に∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜ということを書いているのだと思います。

ちなみにI=[x^2/2｜x＾2/2-2x｜] という解き方は、絶対値をつけたまま解いているという以前の問題です。
∫f(x)g(x)dx≠∫f(x)dx∫g(x)dxです。例えばf(x)=g(x)=1という場合を考えてみましょう。
(左辺)=∫f(x)g(x)dx=∫1*1dx=x+C
(右辺)=∫f(x)dx∫g(x)dx=∫1dx∫1dx=x*x+C=x^2+C

じゃあ、どう解けばいいのかというと、絶対値をはずして解くのです。具体的にやると
（1）
　３　　　　　　 　　　　２　　　　　　 　　　３
I=∫x｜x-2｜dx =∫x｜x-2｜dx＋∫x｜x-2｜dx
　０　　　　　　 　　　　０　　　　　　 　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　２　　　　　　　　　３　　　　　　　　　　　　 　　２　　　　　　　　 　３
=-∫(x^2-2x)dx+∫(x^2-2x)dx=-[x^3/3-x^2]＋[x^3/3-x^2]=17/3
　　０　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　０　　　　　　　　　２
となります。
(2)も同様に-1から0、0から1、1から2に分けて計算します。

補足

うーー・・ごめんなさい！！あとのとこはとてもよくわかるったのですが・・＞｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜=[|F(x)|](aからbまで)あるいは|[F(x)](aからbまで)|
のとこが・・わかんないです・・ごめんなさい！！たびたび質問してしまって・・申し訳ないです・・

回答No.2

eatern27

絶対値の積分を考えるときは絶対値の中見が正のときと負のときに分けて考えなければなりません。
それは、＃1さんのように具体例を考えると、成り立たないときがあります。(というか、基本的に成り立ちません。だから、絶対値の中見が負であるときと正であるときを場合分けしなければいけないのです。

図形的に考えると
f(x)の原始関数の一つをF(x)とします。
∫f(x)dx(a to b)=F(b)-F(a)が成り立ちます。

∫f(x)dx(a to b)はaからbの区間の面積ですが、f(x)がx軸より下にある区間は負の面積と考えて、その分引いています。
∫｜f(x)｜dx(a to b)はaからbの区間の面積ですが、f(x)がx軸より下にある区間は正の面積と考えて、足しています。だから、必ず、0以上です。(0となるのはf(x)=0の時のみ)

｜F(b)｜-｜F(a)｜は｜F(a)｜＞｜F(b)｜となるようにa、bをとると、負になるので∫｜f(x)｜dx(a to b)≠｜F(b)｜-｜F(a)｜となります。
｜F(b)-F(a)｜は∫f(x)dx(a to b)の絶対値です。f(x)がx軸より下の部分を引いて、絶対値をとっています。だから、∫｜f(x)｜dx(a to b)≠｜F(b)-F(a)｜となります。

補足

なるほどー！！わかりました！！でも・・　
「次のような計算をしてはならない。
　　　　　　　　　　　　　　　3
I=[x^2/2｜x＾2/2-2x｜]
　　　　　　　　　　　　　　　0 ,

　　　　　　　　　　　　　　2
J=[｜x^3/3-x^2/ 2｜]
　　　　　　　　　　　　　　-1 」と
「一般に、f(x)の不定積分の1つをF(x)とするとき
　b
∫｜f(x)｜dx≠｜F(b)｜-｜F(a)｜あるいは｜F(b)-F(a)｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」はどういう関係があるんでしょうか？なんとなく・・・しかわからなくて・・私の中であいまいな感じなんです。

回答No.1

Nandayer

簡単にいえば、｜F(x)｜は ｜f(x)｜の不定積分（の一つ）ではないからです。

　　F(x) をf(x)の不定積分としましょう。すると、　F'(x) = f(x) が成り立ちます。（正確には、 F が x で微分可能のとき。）
　しかし、このとき　｜F(x) ｜の微分が｜f(x)｜とは限りません。例えば、区間　[-1, 1 ]上で F(x) = x , f(x) = 1 の場合を考えてみるとよいでしょう。 X = - 1/2 では、｜F(x) ｜の微分は -1、｜f(x)｜は 1 ですから。

　高校数学レベルでは、この程度の理解でよいと思います。

補足

＞F(x) = x , f(x) = 1 の場合を考えてみるとよいでしょう。 X = - 1/2 では、｜F(x) ｜の微分は -1、｜f(x)｜は 1 ですから　　　
とありますが、F(x)=-1/2を微分すると0になり｜F(x)｜の微分とは0になるのでは・・・
理解力が無くてごめんなさい・・