２次元のアフィン変換について

質問

数学の問題で困っています。

問題：アフィン写像f:R^2→R^2で

f(0,0)=(1,1), f(1,0)=(2,3), f(0,1)=(4,5)

をみたすものをもとめよ。

という問題で、まず何を求めれば良いかわからなくて困ってます。
結構、教科書見たりネットで検索かけたりしたのですが、わかりませんでした。

表現行列を求めるのかと思ったのですが違うみたいだし・・・

申し訳ないのですが解答お願いします。

回答No.2

alice_44

f(0,0) = A 転置(0,0) + b = (1,1),
f(1,0) = A 転置(1,0) + b = (2,3),
f(0,1) = A 転置(0,1) + b = (4,5)
ですよね。

通常は、
A x1 + b = y1,
A x2 + b = y2,
A x3 + b = y3
から引き算で
A (x2 - x1) = y2 - y1,
A (x3 - x1) = y3 - y1
などとして、これらの列を並べて
A X = Y
という ２×２ の方程式を作り、
A = (Xの逆行列) Y
と解くのですが…

今回の例題では、
f(0,0)=(1,1)
からただちに b が判ってしまいます。
A 転置(1,0) = (2,3) - (1,1),
A 転置(0,1) = (4,5) - (1,1)
を列に並べて ２×２ の行列の等式にすると、
それだけで
A (単位行列) = …
という式になって、
上記の (Xの逆行列) を掛ける必要もない。

(x,y) に対するアフィン変換を
(x,y,1) に対する一次変換と考えて、
３×３ の逆行列を求める解法もありますが、
今回は、上記が圧倒的に簡単でしょう。

回答No.1

alice_44

f(x) = Ax+b : x,bはベクトル、Aは行列と置いて、
普通は A から先に求めるが、今回は b がスグ解る。

三次射影空間で考えるなら、逆行列を一個求めるだけ。

お礼

回答ありがとうございます。
補足は自分が間違えてつけました。すいません気にしないでください。

補足でも言いましたが、Aとｂの求め方をおしえていただけるとありがたいです。

補足

すいませんAとｂの求め方をおしえていただけるとありがたいです。