線形変換

質問

a=(1,0,1) b=(0,2,1) c=(-1,2,0)が線形写像ｆによって(2,-1) (3,4)(3,-3)に移る時、ｆの表現行列Ｂをもとめよ。
ただし、R^3の基P、R^2の基Qは
　(1 -1 0) 　 (1 1)
p=(2 4 2) Q=(-1 1)
　(0 1 -1)
とする。

この問題を解きたいのですが、基って何に使うのでしょうか？
私がやった方法では2*3行列Bとおいてやったのですが、基は使いませんでした。というか解けませんでした。
もしよければやり方も教えてください。
お願いします。

回答No.1

alkantala · ベストアンサー

線形写像は基を指定しないと行列で表現されません。
特に断わりがない時はＲ^n の基として
{e_1,e_2,...,e_n}
e_k=(0,0,..,,0,1,0,...,0) ←1がk番目
を使用している場合が多いです。
指定された基P,Qに対して線形写像fを表す行列を
「基P,Qに対するfの表現行列」
と呼びます。

今の場合、問題で指定されてる基を使ったｆの表現行列を
求めることが要求されている訳です。

で、どうするかというと、
まずa,b,cと(2,-1),(3,4),(3,-3)を
指定された基Pと基Qの線形結合で表す事
から始めます。
u_1=(1,-1,0), u_2=(2,4,2), u_3=(0,1,-1)
v_1=(1,1), v_2=(-1,1)
とすると
a= l_1 u_1 + l_2 u_2 + l_2 u_3
b= m_1 u_1 + m_2 u_2 + m_3 u_3
c= n_1 u_1 + n_2 u_2 + n_3 u_3
(2,-1)= (3/2) v_1 + (1/2) v_1
(3,4)= 4 v_1 + v_2
(3,-3)= -3 v_2
（l_j, m_j, n_j は自分で計算して下さい。三連立一次方程式です。）
で線形性から
f(a)= l_1 f(u_1) + l_2 f(u_2) + l_3 f(u_3)
= (3/2)*v_1 + (1/2)*v_2
f(b)= m_1 f(u_1) + m_2 f(u_2) + m_3 f(u_3)
= 4 v_1 + v_2
f(c)= n_1 f(u_1) + n_2 f(u_2) + n_3 f(u_3)
= -3 v_2
この三つの式をf(u_i)を変数、v_jを文字とした
三連立一次方程式と思って、
各f(u_i)をv_jの式として表します。
そうすると最終的に
f(u_1) = p_1 v_1 + p_2 v_2
f(u_2) = q_1 v_1 + q_2 v_2
f(u_3) = r_1 v_1 + r_2 v_2
となるp,q,rが分ります。
これをならべた２*３行列
p_1 q_1 r_1
p_2 q_2 r_2
が基P,Qに対するfの表現行列です。
途中の計算は複雑ではありませんが、
けっこう面倒です。

お礼

ありがとうございました。

おかげで解くことができました。
ちゃんと理解できてなかったのでもう一回勉強します。