数学の問題です。

質問

双曲放物面S：z=xy、(x^2+y^2<=4)の面積の求め方を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

領域D={(x,y)|z=xy,x^2+y^2≦4}
面積S=∬[D] √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2}dxdy
　=∬[D] √(1+y^2+x^2)dxdy

x=r cosθ,y=r sinθ(0≦r≦2,-π≦θ≦π)とおくと
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}

S=∬[E] √(1+r^2) rdrdθ
逐次（累次）積分になおすと
=∫[0→2π]dθ∫[0→2] r(1+r^2)^(1/2) dr
=2π[(1/3)(1+r^2)^(3/2)][0→2]
=(2/3)π(5√5-1)
=2(5√5-1)π/3 ←　答え

お礼

とても分かりやすいご説明ありがとうごさいました

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の説明図を描きましたので添付します。
双極放物面z=xy=(r^2)cosθsinθ（0≦r≦2,0≦θ≦2π)の図と面積素dS=√(1+(z_x)^2+(z_y)^2)dxdy=√(1+r^2) rdrdθとdSのxy平面への正投影した面積素dxdy=rdrdθの図(黄色塗り潰し部分)を描き込んでありますのでANo.1の積分の式を理解するのに役立つかと思います。

お礼

図のおかげて式の理解にとても役立ちました。
ありがとうございました。