数学Ａ

質問

次のア～エに当て嵌まる数字について、(1),(2)は自力で解いたのですが、これで合っていますか？
また、(3),(4)がわからなかったので解説をよろしくお願いします。

６個の数字1,2,3,4,5,6を重複なく用いてつくられる６桁の整数のうち、

(1)一の位の数字が５と異なるものは、ア個ある。

ア…384

(2)123456と比較して、対応する位の数字がちょうど３個一致するものは、イ個ある。

イ…40

(3)４で割り切れるものは、ウ個ある。

(4)452613より大きいものは、エ個ある。

回答No.2

orotimarua · ベストアンサー

（１）一の位は、１２３４６の５通り、十の位は一の位で選んだ以外の数（５含む）で5通り
以下、百の位４通り、千の位３通り、一万の位２通り、十万の位1通りで、
５×５×４×３×２×１＝６００通り

（２）１２３４５６のそれぞれの位に対して３ヶ所で“同じ数”を入れ、それ以外の箇所で“別の数”を入れる。
一の位から十万の位で、３ヶ所に“同じ数”が入るパターンは何通りか。
これは、６つの椅子を一列に並べて、そこに３人の人間が座るパターンは何通りかを考えるのと同じ。
１人目の人間Ａは６つの椅子から選ぶので６通り、２人目の人間Ｂはそれ以外の５つから選ぶので５通り、
３人目のＢは同じく４通りで、６×５×４＝１２０通り。
ただし１番目、２番目、３番目の椅子に、ABCと座っても、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA
と座っても、人間（上記でいう“同じ数”）が座ってる事に変わりなく、
１通りとして数えるので１２０÷６＝２０通り
ここで、３つの同じ数が１２３○○○の場合について考える。
残りの４５６の数が“同じ数”にならないような並び方は、６４５、５６４の２通り。
“同じ数”が３つ入るパターンが２０通りで、それぞれ“別の数”の並びが２通りあるので、
２０×２＝４０通り

（３）１００は４で割ることが出来る（４×２５＝１００）。
百の位以降が何桁まで続いていても、全て１００の倍数であり４で割れる。
つまり、下二桁さえ４で割れる整数なら、何桁の整数であっても全て４で割れる整数とみなせる。
１２３４５６を１回ずつ使った６ケタの整数で下二桁が４で割れるパターンは、
１２、１６、３２、３６、５２、５６、と下一桁が４の場合。
下一桁を４に固定した場合、十の位から十万の位に入る数は、５×４×３×２×１＝１２０通り
下二桁を固定した場合、百の位から十万の位に入る数は、４×３×２×１＝２４通りで、
１２、１６、３２、３６、５２、５６の６通りそれぞれあるので、２４×６＝１４４通り
４で割れる６桁の整数は全部で、１２０＋１４４＝２６４通り

（４）４５２６１３より大きい数なので、十万の位が５と６の時は全て大きい数に含まれる。
十万の位を５に固定した時、残りの位の並び方は、５×４×３×２×１＝１２０通り。
十万の位を６に固定した場合も同様に１２０通り。両者合わせて２４０通り。
十万の位が４のままの場合は、次の一万の位が６の時、残りの位になにがきても全て大きい数になる。
十万の位と一万の位が４６に固定された場合、残りの位の並びは、４×３×２×１＝２４通り。
十万の位が４、一万の位が５のままの場合は、千の位が３か６の時、残りの位が何であれ全て大きい数になる。
十万～千の位が４５３で固定された場合、残りの位に入る数は、３×２×１＝６通り。
４５６固定の場合も同様に６通りで、両者合わせて１２通り。
十万～千の位が４５２のままの場合は、百の位に６以外がくると少なくなってしまうので、考えない。
十万～百の位が４５２６のままの場合は、十の位が３の時大きい数になる。
十万～十の位が４５２６３に固定された場合、残りの位の並びは、１＝１通り。
十万～十の位が４５２６１のままの場合は、１通りしかなく、これは４５２６１３より大きい数にはならない。
４５２６１３より大きい整数の数は、２４０＋２４＋１２＋１＝２７７通り

お礼

具体例などがあってわかりやすかったです。
回答ありがとうございました。

回答No.4

Ishiwara

（３）
末尾２桁が、１２、１６、２４、３２、３６、５２、５６、６４の８とおりに限られる。
それぞれについて、４！＝２４とおりあるので、合計１９２

（４）
６＊＊＊＊＊のすべて：５！＝１２０
５＊＊＊＊＊のすべて：５！＝１２０
４６＊＊＊＊のすべて：４！＝２４
４５６＊＊＊のすべて：３！＝６
４５３＊＊＊のすべて：３！＝６
４５２６３＊のすべて：１！＝１
合計：２７７

お礼

簡潔でわかりやすかったです。
回答ありがとうございましたm(__)m

回答No.3

orotimarua

ごめんなさい、Ｎｏ２の回答の（３）は間違いで、

下二桁が４で割り切れるのは、１２、１６、２４、３２、３６、５２、５６、６４の時で、
２４×８＝１９２通りが正しい解答でした。

お礼

何度もすみません。
ありがとうございましたm(__)m

回答No.1

yyssaa

(1)一の位の数字が５と異なるものは、ア個ある。について
６個の数字1,2,3,4,5,6を重複なく用いてつくられる６桁の整数は
６！＝６＊５＊４＊３＊２個
一の位の数字が５になる６桁の整数は５！＝５＊４＊３＊２個
よって一の位の数字が５と異なるものは、ア個＝６！－５！
＝５＊５！＝６００個　すなわちア＝６００になります。

(2)123456と比較して、対応する位の数字がちょうど３個一致するものは、
イ個ある。について
６桁から３桁を選ぶ選び方は６C３＝６！／（３！＊３！）＝２０通り
各３桁について３！＝６個の６桁の数字ができるので、対応する位の
数字がちょうど３個一致するものはイ個＝２０＊６＝１２０個
すなわちイ＝１２０になります。

(3)４で割り切れるものは、ウ個ある。について
下２桁が００の数字は１００の整数倍であり必ず４で割り切れるので、
下２桁が４の整数倍であれば、その数字は４で割り切れることになります。
与えられた条件で下２桁が４の整数倍になるのは、下２桁が１２、１６、
２４、３２、３６、５２、５６、６４のいずれかの場合であり、それぞれの
場合に４！＝２４個の６桁の数字が出来ますので、４で割り切れるものは、
ウ個＝２４＊８＝１９２個、すなわちウ＝１９２になります。

(4)452613より大きいものは、エ個ある。について
数えます。
(ア)４５２６３１
(イ)上３桁が４５３の３！＝６個の数字
(ウ)上３桁が４５６の３！＝６個の数字
(エ)上２桁が４６の４！＝２４個の数字
(オ)上１桁が５の５！＝１２０個の数字
(カ)上１桁が６の５！＝１２０個の数字
以上を合計して
452613より大きいものは、エ個＝1＋６＋６＋２４＋１２０＋１２０＝２７７個
すなわちエ＝２７７になります。

お礼

素早い回答ありがとうございました。
助かりましたm(__)m