円周率について（再）

質問

前回、質問させて頂いた者です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2881020.html
例えば、マチンの公式などの級数で円周率の近似値を求めた場合、何桁までが信頼できるのかの判断ですが、「打ち切り誤差」を評価すれば良いことが分かり、一度は質問を締め切ったものの、その「打ち切り誤差」の評価が難しくて再度質問をさせて頂きました。実際の計算場面では、本当に「打ち切り誤差」を評価しているのでしょうか？たとえば、「マチンの公式のｎ項までをとれば、ｍ桁までの近似値が得られる」というように誤差が評価できるものなのでしょうか。

回答No.1

age_momo

マチンの公式で円周率を求めた場合

π/4～Σ[k=0,∞]{4*(-1)^k*(1/5)^(2k+1)/(2k+1)-(-1)^k*(1/239)^(2k+1)/(2k+1)}

ですからnまで計算した時の誤差は

Σ[k=n+1,∞]{4*(-1)^k*(1/5)^(2k+1)/(2k+1)-(-1)^k*(1/239)^(2k+1)/(2k+1)}

これがいくつかは無限級数ですが、どれぐらいの大きさかはk=n+1を計算するだけで
求まるのではないのでしょうか？(収束速いですし)
証明は置いておいて評価するだけならそれで十分だと思います。
ちなみに少し計算してみましたがk=0から99まで計算した時の誤差(π/4との差)は約、

-6.1521141257124290057806079413514173401996196681186*10＾-143

ですが、k=100だけを計算すると

+6.3957733104835433852416401685220402090435940051056*10＾-143

評価は出来ると思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
確かに、収束が速い場合(1/10^n>an)には、k=n+1を計算するだけで誤差を評価できますが、収束が遅い場合(1/10^n<an)には評価が難しいのではないでしょうか。