複素積分の問題が解けないです

質問

(1)C:|z|=3∫[c]z/(z^2+3iz-2)dz A:2πi

(2)C:|z-i|=3　∫[3]z^2/(z^2+z-2)dz A:2πi

解説をお願いします

回答No.1

info222_

(1)
一位の特異点は
(z^2+3iz-2)=(z+i)(z+2i)=0より
z=-i と z=-2i
z=-i　→　|z|=1<3
z=-2i　→　|z|=2<3
この２つの特異点は共に積分路Cの原点を中心とする半径3の円|z|=3内にある。
f(z)=z/(z^2+3iz-2)とおき留数を求めると
Res(f(z),-i)=lim(z→-i) z/(z+2i)=-1
Res(f(z),-2i)=lim(z→-2i) z/(z+i)=2
留数定理より
∫[c]z/(z^2+3iz-2)dz=2πi (-1+2)=2πi …(答)

(2)
>A:2πi
この答えは間違っています。
正解は「-2πi」

一位の特異点は
(z^2+z-2)=(z+2)(z-1)=0より
z=-2 と z=1
z=-2　→　|z-i|=|-2-i|=√(4+1)=√5<3
z=1　→　|z-i|=|1-i|=√(1+1)=√2<3
この２つの特異点は共に積分路Cのz=iを中心とする半径3の円|z-i|=3内にある。
f(z)=z^2/(z^2+z-2)とおき留数を求めると
Res(f(z),-2)=lim(z→-2) z^2/(z-1)=-4/3
Res(f(z),1)=lim(z→1) z^2/(z+2)=1/3
留数定理より
∫[c]z^2/(z^2+z-2)dz=2πi (-4/3 +1/3)=-2πi …(答)