次の二重積分のx,yの範囲に関する質問です。

質問

次の二重積分のx,yの範囲をどう取ればいいのかわかりません。

∬D sin(2x-y)dxdy, D={ (x,y) | x≦2y≦4x, x+y≦π}

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この問題の範囲の指定は、
ｘの範囲をπ/3≦x≦2π/3、yの範囲をyを0≦y≦2x
これで合っているでしょうか？
図を描いてみたのですが、いまいちピンときません。こういう問題の範囲を求め方のコツなどがあれば教えて欲しいです。
どなたか馬鹿な私でもわかるように解説をよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>ｘの範囲をπ/3≦x≦2π/3、yの範囲をyを0≦y≦2x
これで合っているでしょうか？

間違い。

添付図の黄色斜線領域△OABが積分領域Dになります。
領域Dを積分しやすい領域の分割の仕方で表すと次のD1またはD2の2通りあります。
D1:{(x,y)|x/2≦y≦2x(0≦x≦π/3),x/2≦y≦π-x(π/3≦x≦2π/3)}
または
D2:{(x,y)|y/2≦x≦2y(0≦y≦π/3),y/2≦x≦π-y(π/3≦y≦2π/3)}

I=∬D sin(2x-y)dxdy

を逐次積分（累次積分）で書くと
I=∬D1 sin(2x-y)dydx
=∫[0,π/3]dx∫[x/2,2x]sin(2x-y)dy
+∫[π/3,2π/3]dx∫[x/2,π-x]sin(2x-y)dy
=∫[0,π/3]dx[cos(2x-y)][y:x/2,2x]
+∫[π/3,2π/3]dx[cos(2x-y)][y:x/2,π-x]
=∫[0,π/3] cos(0)-cos(3x/2) dx
+∫[π/3,2π/3] cos(3x-π)-cos(3x/2)dx
=(π/3)-[(2/3)sin(3x/2)][0,π/3]
+[(1/3)sin(3x-π)-(2/3)sin(3x/2)][π/3,2π/3]
=(π/3)-(2/3)sin(π/2)
+(1/3)[sin(π)-sin(0)-2(sin(π)-sin(π/2))]
=(π/3)-(2/3)+(2/3)
=π/3　...(※)

領域D2で逐次(累次)積分する場合は
I=∬D2 sin(2x-y)dydx
=∫[0,π/3]dy∫[y/2,2y]sin(2x-y)dx
+∫[π/3,2π/3]dy∫[y/2,π-y]sin(2x-y)dx

この続きはD1と同様にできますのでご自分でやってみて下さい。
結果は(※)と同じ結果となります。

お礼

非常にわかりやすくて助かりました。領域のところの理解が曖昧だったため、この解説で自分の知識が深まりました。今後もっとこのような問題を解いて力をつけようと思います。ありがとうございました。

回答No.1

noname#199771

コツは、Dの範囲を図示することです。
二等辺三角形になることを確かめてください。

例えば、頂点のx座標でxの区間を分割するとDが
2つの三角形に分かれます。
それを2つの積分の和で表せばいいです。
逐次積分になるのであとは計算すれば終わりです。

お礼

回答ありがとうございます。厚かましいですが、機会がありましたらまた宜しくお願いします。