xy '-(x^2+y^2)=0について

質問

xy '-(x^2+y^2)=0をy=vxとおいて解こうと思ったのですが、そのあと、どうやって解けばよいでしょうか。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

反応が無いなあ…
また、誰かが答えだけ書いてってしまうから、
続きも書いとくかな。

(1/r)(dr/dt) = { 1/u + (1/2)/(1+u) + (1/2)/(1-u) }(du/dt)
を積分して
log(r) = log(u) + (1/2)log(1+u) + (-1/2)log(1-u) + C,　(Cは定数)
から整理すると、
r = A u √{ (1+u)/(1-u) },　(A=e^C).

おそらくは、ここから
u = sin t, x = r cos t, y = r sin t
に話を戻して、x,y を t でパラメータ表示しとくのが最善。

r を消去して x,y の式にしてしまうと、
(x^2+4k)(y^8)+(4x^4+10kx^2)(y^6)+(6x^6+8kx^4+k^2x^2)(y^4)+(4x^8+2kx^6)(y^2)+(x^10)=0,　(k = A^2)
とかになって、検算する気も起こらない。

お礼

返事が遅くなりました。alice_44さんの回答もいいとは思うのですが、y=vxとおいて、ベルヌーイの方程式に帰着した解き方はできないでしょうか。

回答No.4

Tacosan

「y=vxとおいて、ベルヌーイの方程式に帰着した解き方はできないでしょうか」というなら, 自分でできるところはやっているはずですね.

どのように計算できて, どこで困っているのですか?

回答No.2

alice_44

A No.1 で変数分離した式を積分するとき、
u = sin t という置換が役に立つから、
y を x の式で表すよりも、x を y の式で表す
ほうが簡単だろうと思う。

回答No.1

alice_44

その置換で行ける？

x = r cos t,
y = r sin t
で置換すると、

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
= { (dr/dt)(sin t) + r(cos t) } / { (dr/dt)(cos t) + r(- sin t) }
を与式ヘ代入して

(dr/dt) / r = { sin t + (cos t)^2 } / { (cos t)(1 - sin t) }
と変数分離できるよ。