x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y

質問

x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y^2の最小値と最大値を求めよという問題です
よろしくお願いします。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2
この値をｋとおきます。上記よりｋ＞＝０です（二乗の形なので）。

（２ｘ＋ｙ）＾２＝ｋ
２ｘ＋ｙ＝±√ｋ
ｙ＝－２ｘ±√ｋ

これは傾きがー２、ｙ切片が±√ｋの直線です。これを直線ｍと呼びます。

ｋの値が変化すると、この直線ｍはｘｙ平面上をいろいろ動くわけですが、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１（この式が表す円をCと呼びます）という条件より、この直線ｍは
Cと接するか、交わっていないといけません。

この条件を満たしながらｙ切片が最大（あるいは最小）になるのは、直線ｍが
円Cに接するときです。

お礼

ありがとうございます！
助かりました！

回答No.5

178-tall

>x^2+y^2=1を満たすとき4x^2+4xy+y^2の最小値と最大値を求めよ…

まともに拘束条件 x^2+y^2=1 を目的関数 4x^2+4xy+y^2 へ代入してしまう手でも…。

　x^2+y^2=1 → y = √(1-x^2)　　: x∈[-1, +1]
を入れると、
　4x^2+4xy+y^2
　= 4x^2 + (1-x^2) + 4x√(1-x^2)
　= 3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2)
の最小/最大-点の探索が課題。

まず (x) 端点では？
　3 + 1 = 4　　(at x=±1)

その間の極値をあたえる x は？
　{3x^2 + 1 + 4x√(1-x^2) }'
　= 6x + 4(1-5x^2)/√(1-x^2)　　　…(1)

右辺の零点は？
(1) を有理化して、
　100x^4 + 100x^2 + 16
の零点を求めると、当然ながら 4 個ある。
有理化のせいで、いわゆる「無縁根」が2 個まぎれこむのでご注意！
(1) へ代入し、零にならぬ 2 個を排除。

残務は、(x) 端点が最小/最大か否かのチェック。

…といった調子です。

回答No.4

info22_

x=cos(t), y=sin(t)(0≦t≦2π)とおくと
x^2+y^2=1は常に満たされる。

A=4x^2+4xy+y^2
=4(cos(t))^2+4cos(t)sin(t)+(sin(t))^2
=2+2cos(2t)+2sin(2t)+(1/2)-(1/2)cos(2t)
=(5/2)+2sin(2t)+(3/2)cos(2t)
=(5/2)+√(4+(9/4))sin(2t+tan^-1(3/4))
=(5/2)+(5/2)sin(2t+tan^-1(3/4))

0≦t≦2πで
　-1≦sin(2t+tan^-1(3/4))≦1
であるから

0≦A≦5

∴最小値は0, 最大値は5

ここで
最小値をとるときは　sin(2t+tan^-1(3/4))=-1のとき
最大値をとるときは　sin(2t+tan^-1(3/4))=1のとき

補足

ありがとうございました！

回答No.2

yotsuba_k

教科書を読みましょう。解き方は載っていますよ。代入して計算すればいいだけやんｗ

回答No.1

Tacosan

この問題がどうかしたんですか?