指数関数の性質に関すること

質問

以前ネットサーフィンをしていて

f(x+y)=f(x)f(y)を満たす関数fは指数関数だけである

というのが書かれていたのを見た覚えがあるのですがこれは本当でしょうか？
以前見たサイトがどこか忘れてしまったためこれが本当かどうかもよくわかりません
また本当ならどう証明したらいいのでしょうか
よろしくお願いします

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

fが実数体上の実数値関数であると仮定しても、
fが微分可能、とかという条件があれば別ですが、
一般にはそうではありません。

というのは例えば常にf(x)>0として、g(x):=log{f(x)}とおけば、
g(x+y) = g(x) + g(y) となります。f(x)が指数関数しか
ないのであればある定数 a,bがあってg(x) =ax + bです。
（実際にはb = 0)。

逆に実数体上の実数値関数gで、g(x+y) = g(x) + g(y)を満たすものがあれば、
f(x) := exp(g(x))とおけば、f(x+y) = f(x) f(y)を満たします。

しかし、g(x+y) = g(x) + g(y) を満す関数は
g(x) = ax以外にもあるのです。（Hamel基底とかで検索してください）。
このような（g(x+y) = g(x) + g(y) を満たし、かつg(x) = axと
かけない）gは大変奇妙な性質も持つことが知られています。

お礼

返事遅れましたが御二方回答有り難うございます！
面白そうなので詳しく調べてみようかと思います

回答No.3

alice_44

定義域で連続の代わりに、
少なくとも一点で微分可能
でもいいか。

回答No.2

alice_44

微分可能性まで仮定しなくても、連続なら、
指数関数か定数関数かに絞られる。