デルタ関数の性質についての証明

質問

デルタ関数を

δ(x)=lim[ε→∞] δε(x)

δε(x)=1/2ε (-ε≦x≦ε)
=0 (otherwise)

とおいたとき、
デルタ関数の性質である
∫[-∞→∞]δ(x)f(x)dx=f(0)
を証明していただけませんでしょうか。
お願い致します。

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

#1さんと同じですが、ちょっとだけ説明が多いです。

　まず、δε(x)=1/2ε (-ε≦x≦ε)なら#1さんの仰るように、やっぱりδ(x)=lim[ε→+0] δε(x)でないでしょうか？。そうでないとデルタ関数になりませんから。デルタ関数は、(a)一点で∞の値を持ち、(b)積分すると何故か1、という関数（？）です（実用的には、これで十分(^^;)）。

　δ(x)=lim[ε→∞] δε(x)だと、δ(x)＝0（on all x）って事になっちまいます。

　δ(x)=lim[ε→+0] δε(x)というデルタ関数の定義は、理論方面ではあまり使われませんが、実用的には最も簡単明快で役に立ちます。定義が簡単なので、以下の話をε-δ論法に持ち込むのは、そんなに難しくないはずです（必要であれば）。

　以下「f(x)はいたるところ連続」とします（重要！）。添付図をご覧下さい。

　とりあえず(1)の積分を考えます。理由は、上手く行くから(^^)。

　　(1)→(2)：δεの定義から、－ε≦x≦εの外での積分は0だから。
　　(2)→(3)：δεの定義。
　　(3)→(4)：εに制限はないので、ε→0でも良いはずだ。
　　(4)→(5)：ε-δを使うならここ。「f(x)はいたるところ連続」が本質的に効いてくる。
　　　　　　 f(x)は連続だから、[－ε，ε]→[0，0]の極限では、f(x)＝f(0)の定数になる。
　　(5)→(6)：f(0)は定数だから、積分とlimの外へ。
　　(6)→(7)：当然の結果。

　わかりにくいのは、(4)から別系統の積分を考えるところです。

　　(4)→(8) ：再びδεの定義から、－ε≦x≦εの外での積分は0だから。
　　(8)→(9) ：積分がlimと無関係になったので、limは積分の中へ。
　　(9)→(10) ：δεの定義。
　　(10)→(11)：δ(x)の定義。

　そういう訳で、(4)から別れた2系統の積分結果を等置すると、

　　∫[-∞→∞]δ(x)f(x)dx=f(0)

となります。

　同じ事を2重の意味に捉えて、最後に結果を等置すると結論になるという手は、数学では良く使われますが、順番に考えれば、そんなに難しい事をやってる訳じゃありません(^^)。

お礼

お礼遅くなり申し訳ありません。定義は間違っておりました。
詳細な解説ありがとうございます。今回の(4)→(5)の変形について、イプシロンデルタ論法を持ち出すというのが今回の学びです。ありがとうございました。

回答No.3

info222_

このデルタ関数の定義↓↓は間違っています。

>デルタ関数を
>δ(x)=lim[ε→∞] δε(x) .... × (間違い)
>δε(x)=1/2ε (-ε≦x≦ε)
> =0 (otherwise)

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

info222_

>δ(x)=lim[ε→∞] δε(x) ??

δ(x)=lim[ε→+0] δε(x) なのではないでしょうか?

> I=∫[-∞→∞]δ(x)f(x)dx
=∫[-∞→∞] {lim[ε→+0] δε(x)}f(x)dx
=lim[ε→+0] ∫[-∞→∞] δε(x)f(x)dx
=lim[ε→+0] ∫[-ε→+ε] 1/(2ε)f(x)dx
=lim[ε→+0] (1/(2ε))∫[-ε→+ε] f(x)dx
=lim[ε→+0] (1/(2ε)) ∫[-ε→+ε] f(0)dx
=lim[ε→+0] (1/(2ε)) 2εf(0)
=lim[ε→+0] f(0)
=f(0)
(証明終)

お礼

お礼遅くなりもうしわけありません。確かに定義が間違っておりました。
証明ありがとうございます。
=lim[ε→+0] (1/(2ε))∫[-ε→+ε] f(x)dx
=lim[ε→+0] (1/(2ε)) ∫[-ε→+ε] f(0)dx
の変形がずっと疑問だったのですが、回答＃2さんのイプシロンデルタ論法で納得できそうです。ありがとうございます。