ベクトル空間

質問

ベクトル空間Ｖの部分集合Ｕ₁、Ｕ₂、Ｕ₃に関して
Ｕ₁⋂（Ｕ₂＋Ｕ₃）＝（Ｕ₁⋂Ｕ₂）＋（Ｕ₁⋂Ｕ₃）は一般には成立しないのでしょうか？
自分の参考書にはそう書いてありますがこれが成立しない例が自分には思いつきません。
どなたか反例を挙げていただけないでしょうか？

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

例えばV={実数全体}, Ｕ₁={3}, Ｕ₂={1}, Ｕ₃={2}とすると、
Ｕ₁⋂（Ｕ₂＋Ｕ₃）={3}
（Ｕ₁⋂Ｕ₂）＋（Ｕ₁⋂Ｕ₃）=φ
となって等式は成り立ちません。

部分空間だとしても、例えば
V={実2次元ユークリッド空間}
Ｕ₁={(1,1)が生成する部分空間}
Ｕ₂={(1,0)が生成する部分空間}
Ｕ₃=={(0,1)が生成する部分空間}
とすると、
Ｕ₁⋂（Ｕ₂＋Ｕ₃）=Ｕ₃
（Ｕ₁⋂Ｕ₂）＋（Ｕ₁⋂Ｕ₃）={0}
となって等式は成り立ちません。

回答No.1

alice_44

「部分集合」なら、必ず成り立ちますよ。

「部分(ベクトル)空間」の間違いじゃないかな？
だとすれば、A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) でなく
A∩(B＋C) = (A∩B)＋(A∩C) と書いてあるところがミソで、
その ＋ は、ベクトル空間の直和の意味なんだと思います。

もしそうなら、B∩C≠φ の場合が反例になります。