教えてください。部分空間の問題です

質問

ベクトル空間Vから
w1,…,wnをVの真の部分空間としてとると、
（w1,…,wnの和集合）≠Vを示せ。
という問題です。また「真の」とはどういう意味でしょうか？

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

全空間ＶもＶの部分空間と考えられます。集合Ａに対して、ＡもＡの部分集合になるのと、ちょっと似てます。なので、

＞「真の」

とは、いずれのＷiも、Ｗi≠Ｖという意味です。このときＷiとＶは、集合としても、部分空間としても等しくありません。

　この問題は、w1,…,wnが張る部分空間、

　　w1＋w2＋・・・＋wn

と、集合としての和、

　　w1∪w2∪・・・∪wn

は、「集合として違うのだ」という事を意識させるための問題です。

回答No.2

Tacosan

この場合の「ベクトル空間」って, 「実数上の」とか隠れてるんだろうなぁ. そうじゃないと (かつ n を任意に選んでいいとすると) 次のように反例ができてしまう:
有限体 F2 上のベクトル空間
V = {(x, y) | x, y ∈ F2} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}
に対し
W1 = {(0, 0), (0, 1)}, W2 = {(0, 0), (1, 0)}, W3 = {(0, 0), (1, 1)}
はすべて V の真の部分空間だけど W1 ∪ W2 ∪ W3 = V.