数学3 関数の極限 負の無限大の計算について

質問

lim (x → -∞) x^2+x = ∞

となるのは、　

lim (x → -∞) x^2 = ∞
lim (x → -∞) x = -∞

とすると、∞-∞ の不定形になってしまうので、(x+1)x　と変形し　-∞(-∞) = ∞

ということでいいですか。

また、
「x^2が正の無限大に発散する速度の方が速いのだから、x^2+x　は正の無限大に発散する」
といったような直感的な説明はおかしいですか。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
だいたい感覚的には合っているかと。＾＾

＞(x+1)x　と変形し　-∞(-∞) = ∞ということでいいですか。
それでいいと思います。

x^2でくくって、x^2* (1+ 1/x)→ ∞とした方がわかりやすいかもしれませんね。
というのも・・・

＞また、
＞「x^2が正の無限大に発散する速度の方が速いのだから、x^2+x　は正の無限大に発散する」
＞といったような直感的な説明はおかしいですか。

このことを説明するために x^2* (1+ 1/x)と変形することで、
全体の値が「x^2に支配されている」という感じが明らかになります。

高校数学ではあまり用いないので使わない方が無難かと思いますが、
このような項を「強い項」とか、「強く寄与する項」といった表現をすることがあります。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6595288.html

お礼

素早くご回答くださりありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。また、「強い項」、「強く寄与する項」と言った言葉まで教えていただき、大変勉強になりました。リンクも助かりました。

回答No.3

noname#199771

＞(x+1)x　と変形し　-∞(-∞) = ∞

(-x-1)(-x)と変形したほうがよいかもしれません。
というのは、(-∞)×(-∞)=∞が怪しいので。

任意の正数Mに対して、N=1+√Mと置くとN>0です。
このときx<-Nなる任意のxに対して-x>Nなので
x^2+x=(-x-1)(-x)>(N-1)N=(√M)(1+√M)>M

と書けば文句なしですが高校レベルならその辺いい
加減でも大丈夫なはずです。

＞「x^2が正の無限大に発散する速度の方が速いの
＞だから、x^2+x　は正の無限大に発散する」

雰囲気はそんな感じで、おかしくはないです。
ただ、「速度」というのが何かが曖昧で、「速度」の違い
を示す根拠がないと結局循環論法になってしまいそう
なので気持ち悪さが残ります。その方針を生かして答案
にするなら#1のように処理するのがいいでしょう。

お礼

>任意の正数Mに対して、N=1+√Mと置くとN>0です。
>このときx<-Nなる任意のxに対して-x>Nなので
>x^2+x=(-x-1)(-x)>(N-1)N=(√M)(1+√M)>M

む、むつかしいですね！
(-∞)×(-∞)=∞があやしいということについても、勉強してみます。

>ただ、「速度」というのが何かが曖昧で、「速度」の違い
>を示す根拠がないと結局循環論法になってしまいそう
>なので気持ち悪さが残ります。その方針を生かして答案
>にするなら#1のように処理するのがいいでしょう。

なるほど、答案するときの方針を教えていただけるのはとても勉強になります。

ご回答下さりありがとうございました。

回答No.2

Water_5

∞-∞＝不定形と言うが
∞＋∞＝∞はよく知られている。

なので、＋∞を右辺へ移項して
∞＝∞ー∞

すなわち
∞ー∞＝∞